1302
правки
Изменения
м
1) # <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> 2) # Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность)
Нет описания правки
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
}}
* <tex> \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty </tex> (патологический)
* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_k P_n </tex> — сходящийся положительный ряд, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>
* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.
<!-- а мы это доказали позднее? -->
Выведем 2 два важных свойства меры на полукольце:
{{Лемма
