1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Цель — установить формулу
<tex> \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 - = \int\limits_R f d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_2lambda_1 </tex>
<tex> E(x_1) </tex> — сечение множества <tex> E </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1</tex>.
<tex> E(x_1) = \{ x_2 \int in \mathbbR mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} </tex>
Для некоторого некоторых <tex> x_1 </tex> это может быть ф.(???)<tex> \varnothing </tex>
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему истоком которой является принцип Кавальери. {{TODO|t=КАРТИНКА}}: <tex> S(E_2) = \int\limits_a^b = l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы был раньше.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbbRmathbb R^2, \lambda E < + \infty</tex>
Тогда:
1) <tex> \forall x_1 \in \mathbbR mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.2) <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbbR mathbb R </tex> функция.3) <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex>
|proof=
Такая же схема, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному.
1) <tex> E = [a, b] \times [c, d]</tex>
<tex> E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \emptyset varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases}</tex> — измеримо.
<tex> \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases}</tex>
Кусочно-постоянная функция на оси, суммируемая.
<tex> \int\limits_{\mathbbRmathbb R} (E(x_1)) d x_1 = (b - a) * (d - c) = \lambda_2 E</tex>
Вместро замкнутого прямоугольника(???) можно было смотреть любой прямоугольник, в том числе ячейку.
2) <tex> G </tex> — открытое множество, <tex> \lambda G < + \infty </tex>
<tex> G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) </tex> , по 1) <tex> \Delta_n (x_1) </tex> — измеримо, а не более, чем счётное объединение не болееизмеримых, чем счётных измеримноизмеримо.
В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, <tex> \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) </tex>
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1</tex>
<tex> \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G)</tex>
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств)
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \in subset G_n </tex> (<tex> E </tex> — измеримо)
По сигма-аддитивности, <tex> \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n) </tex>. <tex>E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) </tex> — измеримо для любого <tex> x_1 </tex>
<tex> \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) </tex> — тоже измеримо(как предел измеримой функции).
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости:
<tex> \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1</tex>.
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E)</tex>
В том же духе {{TODO|t = УПРАЖНЕНИЕ!!!}}
4) <tex> E </tex> — нульмерно.
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n</tex>
5) <tex> E </tex> — произведение измеримое O_O
<tex> E = G \setminus K, E \subset G, G </tex> типа <tex> G_\delta, K </tex> — нульмерно (<tex> \lambda_2 K = 0</tex>), что и требовалось доказать
}}
следствие
|statement=
на \mathbbR mathbb R y = f(x) > 0. G(f) — подграфик, измерим. Тогда f — измерима.
|proof=
G(f) — измерима. Применяем теорему:
Фубини
|statement=
Пусть E \subset \mathbbRmathbb R^2, f: E \to \mathbbR mathbb R — измерима.
\int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty (f — суммируема).
Тогда для почти всех x_1 \in \mathbbR mathbb R f(x_1, \cdot) будет суммируемой на E(x_1) и \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbbRmathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 (формула повторного интегрирования)
|proof=
