Изменения

<tex> \int\limits_{E\subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) </tex> — сечение множества <tex> d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E (x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1 </tex>.

где <tex> E(x_1) </tex> — сечение множества <tex> E </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1 </tex> (<tex> E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} </tex>).

Для некоторых <tex> x_1 , E(x_1) </tex> это может быть <tex> \varnothing </tex>пусто.

== Принцип Кавальери(?) == Сейчас мы сформулируем и докажем теорему , истоком которой является принцип «метод неделимых» Кавальери. {{TODO|t=КАРТИНКА}}: <tex> S </tex> - площадь.<tex> l </tex> - длина.<tex> S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы был раньшеуже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.

|about = о сечениях|statement=Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda lambda_2 E < + \infty </tex>

1) # <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.2) # <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.3) # <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex>

Такая Схема доказательства — такая же схема, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному.

1) <tex> E = [a, b] \times [c, d] </tex>.

<tex> \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} </tex> Кусочно— кусочно-постоянная функция на оси, суммируемаясуммируема.

<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E </tex>

Вместро Вместо замкнутого прямоугольника(???) можно было смотреть любой рассматривать прямоугольниклюбого вида, в том числе и ячейку.

2) <tex> G </tex> — открытое множество, <tex> \lambda G < + \infty </tex> .

В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, <tex> \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) </tex> .

Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.

<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви(Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.

3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).

<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex> (<tex> E </tex> — измеримо).

По сигма-аддитивности, <tex> \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)</tex>. <tex>E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) </tex> — измеримо для любого <tex> x_1 </tex> .

В том же духе 4) <tex> E </tex> — нульмерно. Представим <tex> E </tex> как пересечение убывающих открытых множеств: <tex> E = \bigcap\limits_n G_n, G_{{TODO|t n + 1} \subset G_n </tex>. Для всех <tex> G_n </tex> теорема уже доказана. Тогда <tex> E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) </tex> является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо. Множество Лебега <tex> E(f \le a) </tex> функции <tex> f = \lambda_1 (E(x_1)) </tex> тоже будет измеримо при любом <tex> a </tex> как пересечение измеримых множеств: <tex> E(f \le a) = УПРАЖНЕНИЕ!!!}}\bigcap\limits_n G_n(f \le a) </tex>.

По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай <tex> G_\delta </tex>), равенство выполняется. 5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>.  Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0.  Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E (x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex> — нульмерно.

Из этого следует, что <tex> \lambda_1 E = (x_1) \bigcapsim \limits_n G_n lambda_1 K(x_1) </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex>значит, она тоже измерима.

5) Наконец, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex> — произведение измеримое O_O.

на <tex> \mathbb R :\ y = f(x) > 0</tex>. <tex> G(f) </tex> — подграфик, измерим. Тогда <tex> f </tex> — измерима.

<tex> G(f) </tex> — измеримаизмерим. Применяем теорему:

<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)]</tex> — измеримое.

По теореме, функция <tex> \lambda_1 E(x_1) — измеримо = </tex> измерима и равна <tex> f(x_1) — значит</tex>. Значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.

Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R </tex> — измерима.

<tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема).

Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R , f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)

<tex> f = f_+ - f_-</tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0</tex>.

Принцип Кавальери переносится на сечения любой размерности <tex> f </tex> суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик <tex> f </tex>: <tex> G(нам нужны двумерныеf)= \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>.

z = fПользуясь принципом Кавальери (xон был доказан нами для одномерных сечений, yно легко переносится на сечения любой размерности, в нашем случае, на двумерные) \ge 0, получаем:

<tex> \lambda_3 G(f) = \int\limits_{ \mathbb R} \lambda_2(x, y, z) : E(x, yx_1) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \}dx_1 </tex>.

Для любого(или почти любого?) <tex> x_1 </tex>, можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции <tex> f_{x_1}(x_2) </tex>. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: <tex> \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2)dx_2 </tex>. Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G = \int\limits_E f d\lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство. (Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями. , параллельными <tex> Oyz <// 0yz o_O tex>. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может очуществляться через интегралделаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x . Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).