Изменения

на <tex> \mathbb R :\ y = f(x) > 0</tex>. <tex> G(f) </tex> — подграфик, измерим. Тогда <tex> f </tex> — измерима.

<tex> G(f) </tex> — измерима. Применяем теорему:

<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)]</tex>.

По теореме, <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> — измеримо <tex> = f(x_1) </tex> — значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.

Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R </tex> — измерима.

<tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема).

Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R , f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)

<tex> f = f_+ - f_-</tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0</tex>.

<tex> z = f(x, y) \ge 0</tex>

<tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \}</tex>

Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями. // <tex> 0yz </tex> o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может очуществляться через интеграл, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).