689
правок
Изменения
м
(т.е. из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе)
<tex>B</tex> {{---}} нульмерное множество. Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. А тогдаТогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она сходится будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду.
== Пункт 2 ==
подкорректировал лемму
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
{{Лемма
|statement=Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых , такая что <tex>\{f_{n_k}}(x) \} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br> (Иначе - Другими словами, из сходимости в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
|proof=
Для начала, докажем от нечего делать обратное утверждение:
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе. Возьмём <tex>\forall \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.
В силу условия леммы, для <tex>\forall \varepsilon_kvarepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>
Рассмотрим <tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>:
<tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>
<tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex>
<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \o rightarrow 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.
<tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>.
<tex>A = \bar B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>.
Так как <tex>x \in A : \exists </tex>, то есть <tex> k_x : </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>.
<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j} | < \varepsilon_j|)</tex>
Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex>
Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>:
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq A</tex> функциональная последовательность сходится.
}}
Будет разговор о <tex>C</tex>-свойстве Лузина. Приведём без доказательства, но из неё выведем важную теорему Фреше.
Это принято называть <tex>C</tex>-свойством Лузина.
Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>.
== Теорема Фреше ==
<tex>\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\forall n > m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p</tex>.
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>зp</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E'}{\Rightarrow} f</tex>.
}}
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти наверное с точностью до множества малой меры {{---}} равномерная сходимость.
