1679
правок
Изменения
→Абсолютная непрерывность: предположительно, упорота
По определению, <tex> \forall \varepsilon \exists </tex> хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>
<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty </tex> (так как разбиение <tex> e_\varepsilon</tex> — хорошее).
<tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon} </tex> (так как f — ограничена{{TODO|t=че? почему ограничена?}}).
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>
<tex> B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex> {{TODO|t=ПШШШШШ}}
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, то для таких <tex> B : \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.
}}
