Изменения
→Реализация
Алгоритм '''А*'''("англ. ''A star", "А звёздочка"'') {{---}} алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.
==Описание==
[[Файл:Astar_progress_animation.gif|right|frame|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]
В процессе работы алгоритма для вершин рассчитывается функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где
*<tex>g(v)</tex> {{---}} наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины,
*<tex>h(v)</tex> {{---}} эвристическое приближение стоимости пути от <tex>v</tex> до конечной цели. <tex>h(v)</tex> должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Чем меньше , тем раньше вершина будет открыта и исследована алгоритмом. Таким образом открытые алгоритмом вершины хранятся в очереди с приоритетом по значению <tex>f(v)</tex>. А* действует подобно [[Алгоритм Дейкстры | алгоритму Дейкстры]] и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими.
* Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние<ref>[httphttps://ruen.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Чебышева Расстояние ЧебышеваManhattan_distance Wikipedia {{---}} Manhattan distance] применяется когда к четырем направлениям добавляются диагонали:</ref><br> <tex>h(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, + |{v.y-goal.y}|)}</tex>.
* Расстояние Чебышева<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Чебышева Википедия {{---}} Расстояние Чебышева]</ref> применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали:<br> <tex>h(v) = \max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}</tex>. * Если передвижение не ограниченно ограничено сеткой, то можно использовать евклидово расстояние по прямой:<br> <tex>h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}</tex>.
Также стоит обратить внимание на то как соотносятся <tex>f(v)</tex> и <tex>h(v)</tex>. Если они измеряются в разных величинах (например, <tex>g(v)</tex> {{---}} это расстояние в километрах, а <tex>h(v)</tex> {{---}} оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат.
==ПсевдокодРеализация== В приведённой реализации:* <tex>Q</tex> {{---}} множество вершин, которые требуется рассмотреть,* <tex>U</tex> {{---}} множество рассмотренных вершин,* <tex>f[x]</tex> {{---}} значение эвристической функции "расстояние + стоимость" для вершины <tex>x</tex>,* <tex>g[Файл:Astar_progress_animationx]</tex> {{---}} стоимость пути от начальной вершины до <tex>x</tex>,* <tex>h(x)</tex> {{---}} эвристическая оценка расстояния от вершины <tex>x</tex> до конечной вершины.gif|thumb|right|Пример На каждом этапе работы А*алгоритма из множества <tex>Q</tex> выбирается вершина с наименьшим значением эвристической функции и просматриваются её соседи. Пустые кружки принадлежат к открытому спискуДля каждого из соседей обновляется расстояние, а окрашенные к закрытомузначение эвристической функции и он добавляется в множество <tex>Q</tex>.]]<br>Псевдокод: void '''bool''' A*(start,goal) ''':''' { U = <tex> \varnothing </tex> closed :Q = {}; <tex> \varnothing <// Множество вершин расстояние до которых мы уже оценилиtex> openQ.push(start);// Очередь с приоритетом g[start] = 0 f[start] = g[start] + h[(start]; parent[start] = start;) '''while (open''' Q.size() != 0) { x :current = open.pop(); вершина из <tex>Q</tex> с минимальным значением <tex>f</tex> '''if (x ''' current == goal) '''return succsess(x);''' ''true'' <font color="green">// Кратчайший нашли путь найден до нужной вершины</font> closedQ.pushremove(xcurrent); for U.push(y : xy in Ecurrent) {'''for''' v : смежные с current вершины if (y in closed) continue; tmp :tentativeScore = g[xcurrent] + d[x(current,y] v) <font color="green">// Стоимость пути до y через х if d(y not in opencurrent, v) { open.push(y); tentative_is_better = true; {---}}стоимость пути между current и v</font> else '''if (tmp ''' <tex>v \in U< /tex> '''and''' tentativeScore >= g[yv]) // можно улучшить расстояние до y tentative_is_better = true else tentative_is_better = false '''continue''' '''if (tentative_is_better == true) ''' <tex>v \notin U<// найден новый, более короткий путь до y { tex> '''or''' tentativeScore < g[v] parent[yv] = x;current g[yv] = tmp;tentativeScore f[yv] = g[yv] + h[y];(v) } '''if''' <tex>v \notin Q</tex> } } Q.push(v) '''return failure; // Наша цель недостижима из start''' ''false'' }==СвойстваСм. также==* [[Эвристики для поиска кратчайших путей]]* [[Алгоритм Флойда]]* [[Алгоритм Дейкстры]]* [[Алгоритм Форда-Беллмана]] ===Корректность=Примечания== Если <tex>h(v)<references/tex> всегда меньше либо равна истинной стоимости пути до цели, то А* гарантированно найдет кратчайший путь, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостью, тем меньше вершин рассмотрит алгоритм.
===Оптимальность=Источники информации==Любой другой алгоритм* С. Рассел, использующий ту же эвристическую функцию <tex>h(v)</tex>П. Норвиг {{---}} Искусственный интеллект. Современный подход, рассмотрит не меньше вершин, чем А*. ==Ссылки==2е издание*[httphttps://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_поиска_A* Википедия:Алгоритм_поиска_A{{---}} Алгоритм поиска A*]*[httphttps://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm Wikipedia:{{---}} A*_search_algorithmsearch algorithm]*[http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей]*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Generalized best-first search strategies and the optimality of A*]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]