689
правок
Изменения
м
вроде, разобрался с путаницей
Пусть <tex>E</tex> - произвольное измеримое множество, <tex>f: E \to \mathbb{R_{+}}</tex> - измеримая функция.
Рассмотрим набор измеримых множеств <tex> \mathcal E = \{ e \} </tex>, такой, что <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. В такой ситуации существует интеграл Лебега <tex>\int \limits_{e} f d\mu</tex>.
{{Определение
|definition=Интеграл <tex>\int\limits_{E}fd\mu = \sup\limits_{e} \int\limits_{e}fd\mu</tex>}}
{{Определение
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\int\limits_{E}fd\mu < +\infty</tex>}}
Класс <tex>e\mathcal E</tex> непуст, так как всегда <tex>\varnothing \in e\mathcal E</tex>.
Более того, можно рассмотреть объединение <tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>:
<tex>E = E \cap X = \bigcup\limits_{m, n} (E_m \cap X_n)</tex>
<tex>E_m \cap X_n \subset X_n</tex>, поэтому <tex>\mu(E_m \cap X_n) < \mu X_n < +\infty</tex> (на множестве <tex>E_m \cap X_n</tex> <tex>f</tex> {{---}} ограничена), следовательно, <tex>\forall E_m \bigcap X_n \in e\mathcal E</tex>.
Все <tex>e\in \mathcal E</tex> будем условно называть "хорошими множествами". {{TODO|t=здесь и далее есть путаница между классом <tex> e </tex> и его представителями, надо как-нибудь ее устранить}}
