689
правок
Изменения
м
4Множество Лебега <tex> E(f \le a) </tex> функции <tex> f = \lambda_1 (E (x_1)) </tex> тоже будет измеримо при любом <tex> a </tex> как пересечение измеримых множеств: <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) </tex> — нульмерно.
Подбираем По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>. Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0. Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>. Из этого следует, функция что <tex> \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) </tex> , значит, она тоже измерима (почему?). Наконец,а <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
что-то улучшил вплоть до теоремы Фубини
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви(Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
4) <tex> E </tex> — нульмерно.
Представим <tex> E </tex> как пересечение убывающих открытых множеств: <tex> E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n </tex>. Для всех <tex> G_n </tex> теорема уже доказана.
Тогда <tex> E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) </tex> является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо.
По [[Мера теореме Лебега в R^n | этой теореме]] существует такое множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex>, что <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2 K = 0 </tex>. По доказанному выше, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 Kо мажорируемой сходимости (x_1) d x_1 = \lambda_2 K = 0 </tex>, следовательно, так как <tex> f </tex> неотрицательна почти всюду, а ее интеграл нулевой, <tex> \lambda_1 K(x_1) = 0 </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>. Но <tex> E(x_1) \subset K(x_1) </tex> при каждом <tex> x_1 </tex>же, и так как мера <tex> \lambda_1 </tex> полна, то сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = 0 </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>. Отсюда по теореме ??? следует, что функция <tex> \lambda_1 E(x_1в 3) </tex> - измерима, а <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E(x_1) d x_1 = 0 = \lambda_2 E </tex>.{{TODO|t=WTF??}}<tex> E = G \setminus Kболее того, E \subset Gпохоже, G </tex> типа нульмерное множество - вообще частный случай <tex> G_\delta, K </tex> — нульмерно (<tex> \lambda_2 K = 0 </tex>), что и требовалось доказатьравенство выполняется.
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
}}
<tex> G(f) </tex> — измерим. Применяем теорему:
<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] </tex>— измеримое.
По теореме, функция <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> — измеримо измерима и равна <tex> = f(x_1) </tex> — значит. Значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.
}}
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
Принцип Кавальери (видимо, выше он и написан) был доказан нами(ГДЕ?) для одномерных сечений, но он легко переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные).
Пусть <tex> z = f(x, y) \ge 0 </tex>.
<tex> G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} </tex>
Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex> o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).
}}
[[Мера подграфика|<<]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
