234
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=Пусть Р - регулярная переходная матрица. Тогда:<br>
<tex>\exists A: \displaystyle \lim_{n \to \infty}P^n = A</tex>;<br>;
каждая строка А представляет собой один и тот же вероятностный вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}</tex>
}}
Доказательство:
Пусть <tex>\xi</tex> - вектор-столбец, состоящий из единиц. * <tex>\pi</tex> - вероятностный вектор, значит <tex>\pi \xi = 1</tex>(сумма его элементов равна 1), значит <tex>\pi A = \pi \xi \alpha = \alpha</tex>. Но <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \pi A = \alpha</tex> - первый пункт доказан.* Пусть <tex>\beta : \ \ \beta P = \beta</tex>. Тогда <tex>\forall n \ \beta P^n = beta \Rightarrow \beta = \beta A = \alpha</tex>. Второй пункт доказан.* <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow P \cdot \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} P^n \cdot P = A</tex>
== Литература ==
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93
