Изменения
→Доказательство
Так как <math>\frac{P_k}{Q_k}</math> и <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math> расположены по разные стороны от <math>\alpha</math>, то при нечётном <math>k</math> имеем <math>\frac{P_k}{Q_k}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2} </math>, а при чётном <math> k </math> - <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{5}Q_{k+1}^2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{P_k}{Q_k}-\frac{1}{\sqrt{5}Q_k^2}</math>.
Из последних двух неравенств следует, что <math>\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{Q_k^2}+\frac{1}{Q_{k+1}^2})\leqslant~|\frac{P_k}{Q_k}-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| = \frac{1}{Q_k Q_{k+1}}</math>. Умножив обе части на <math>Q_{k+1}^2</math> и перенеся все члены в левую часть получим: <math>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k})^2 - \sqrt{5}(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}) + 1 \leqslant 0</math>. То есть <math>(\frac{Q_{k+1}}{Q_k}-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \leqslant \frac{1}{4}</math>, следовательно для целых <math>Q_k</math> и <math>Q_{k+1}</math> иеем <math>\frac{Q_{k+1}}{Q_k} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>.
Так как <math>\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math> и <math>\frac{P_{k+2}}{Q_{k+2}}</math> расположены по разные стороны от <math>\alpha</math>, то аналогично получаем <math>\frac{Q_{k+2}}{Q_{k+1}} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>.
