322
правки
Изменения
Нет описания правки
''Необходимость.''
Пусть ненулевой граф <tex> G </tex> связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину <tex> u </tex> и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества <tex> U </tex> и <tex> V </tex> так, чтобы в <tex> U </tex> лежали вершины <tex> v_0 </tex>, такие что кратчайшая цепь <tex>(u, v_0)</tex> была чётной длины, а в <tex> V </tex> соответственно вершины <tex>v_1</tex>, для которых длина цепи <tex>(u, v_1)</tex> — нечётная. При этом <tex> u \in U </tex>.
В графе <tex> G </tex> нет ребер <tex>ab</tex>, таких что <tex>a, b </tex> лежат одновременно в <tex> U </tex> и <tex>V</tex>. Докажем это от противного. Пусть <tex>a, b \in U </tex>. Зададим <tex> P_0 </tex> — кратчайшая <tex> (u, a) </tex> цепь, а <tex> P_1 </tex> — кратчайшая <tex> (u, b) </tex> цепь. Обе цепи четной длины. Пусть <tex> v_0 </tex> — последняя вершина цепи <tex> P_0 </tex>, принадлежащая <tex> P_1 </tex>. Тогда подцепи от <tex> u </tex> до <tex> v_0 </tex> в <tex> P_0</tex> и <tex>P_1</tex> имеют одинаковую длину (иначе бы, пройдя по более короткой подцепи от <tex>u</tex> до <tex>v_0</tex> мы смогли бы найти более короткую цепь от <tex> u </tex> до <tex> a </tex> или от <tex> u </tex> до <tex> b </tex>, чем цепь <tex> P_0 </tex> или <tex> P_1 </tex> ). Так как подцепи от <tex> v_0 </tex> до <tex> a </tex> и от <tex> v_0 </tex> до <tex> b </tex> в цепях <tex> P_0 </tex> и <tex> P_1 </tex> имеют одинаковую четность, а значит в сумме с ребром <tex> ab </tex> они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.
Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину.
На каждом шаге обхода в глубину помечаем вершину. Допустим мы пошли в первую вершину — помечаем её как <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то на ней ставим пометку <tex> 2 </tex> и рекурсивно переходим в нее. Если же она помечена и на ней стоит та же пометка, что и у той, из которой шли(в нашем случае <tex> 1 </tex>), значит граф не двудольный.
