442
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Прямым произведением''' двух [[Детерминированные конечные автоматы|ДКА]] <tex>A_1 = \langle \SigmaSigma_1, Q_1, s_1, T_1, \delta_1 \rangle</tex> и <tex>A_2 = \langle \SigmaSigma_2, Q_2, s_2, T_2, \delta_2 \rangle</tex> называется ДКА <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, где:* <tex>\Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2</tex>* <tex>Q = Q_1 \times Q_2,</tex>* <tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle,</tex>* <tex>T = T_1 \times T_2,</tex>* <tex>\delta(\langle q_1, q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1(q_1, c), \delta_2(q_2, c) \rangle</tex>}} == Пример ==[[Файл:Multi_DKA_source.png]] Возьмем автоматы:* <tex>A_1 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_1 = \lbrace s_1, t_1 \rbrace, s_1, T_1 = \lbrace t_1 \rbrace, \delta_1 \rangle</tex>* <tex>A_2 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_2 = \lbrace s_2, q_2, t_{21}, t_{22} \rbrace, s_2, T_2 = \lbrace t_{21}, t_{22} \rbrace, \delta_2 \rangle</tex>. [[Файл:Multi_DKA_result.png]] Согласно определению:#<tex>\Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace</tex>#<tex>Q = \lbrace \langle s_1, s_2 \rangle, \langle s_1, q_2 \rangle, \langle s_1, t_{21} \rangle, \langle s_1, t_{22} \rangle, \langle t_1, s_2 \rangle, \langle t_1, q_2 \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle \rbrace</tex>#<tex>s = \langle s_1, s_2 \rangle</tex>#<tex>T = \lbrace \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{22} \rangle \rbrace</tex>#<tex>\delta :</tex>#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(s_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>#*<tex>\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(s_2, 1) \rangle = \langle t_1, s_2 \rangle </tex>#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(q_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle </tex>#*<tex>\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(q_2, 1) \rangle = \langle t_1, t_{21} \rangle </tex>#*<tex>\ldots</tex>{{Утверждение|statement=Автомат <tex>A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle</tex>, построенный как прямое произведение автоматов <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> будет их пересечением.|proof=Возьмем слово <tex>\alpha</tex>, которое допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>. Выпишем все состояния в порядке допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A_1</tex> {{---}} <tex>a_{11}, a_{12},\ldots, a_{1|\alpha|}</tex> и все состояния проходимые при допуске слова автоматом <tex>A_2</tex> {{---}} <tex>a_{21}, a_{22},\ldots, a_{2|\alpha|}</tex>. Построим список пар <tex>\langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex>, где <tex>i = 1, 2,\ldots, |\alpha|</tex>. Данный список является списком состояний в процессе допуска слова <tex>\alpha</tex> автоматом <tex>A</tex>, так как: *<tex>\langle a_{11}, a_{21} \rangle = \langle s_1, s_2 \rangle</tex> {{---}} сохраняется стартовое состояние *<tex>\delta_1(a_{1i-1},c) = a_{1i}</tex>, <tex>\delta_2(a_{2i-1},c) = a_{2i}</tex>, <tex>\delta( \langle a_{1i-1}, a_{2i-1} \rangle, c) = \langle \delta_1(a_{1i-1},c), \delta_2(a_{2i-1},c) \rangle = \langle a_{1i}, a_{2i} \rangle</tex> {{---}} переходы верны *<tex>a_{1|\alpha|} \in T_1, a_{2|\alpha|} \in T_2, \langle a_{1|\alpha|}, a_{2|\alpha|} \rangle \in T_1 \times T_2 = T</tex> {{---}} сохраняется терминальное состояниеСледовательно автомат <tex>A</tex> допускает слова, которые допускает автомат <tex>A_1</tex> и автомат <tex>A_2</tex>. Возьмем слово <tex>\beta</tex>, которое не допускает автомат <tex>A_1</tex> или автомат <tex>A_2</tex>, тогда <tex>a_{1|\beta|}</tex> или <tex>a_{2|\beta|}</tex> {{---}} нетерминальное состояние, следовательно <tex>\langle a_{1|\beta|}, a_{2|\beta|} \rangle \notin T_1 \times T_2</tex>.
}}
== Применение ==