Изменения

==Жадный Алгоритмалгоритм==

Аналогично предыдущей идее, однако будем удалять в процессе обхода в глубину из графа все рёбра, вдоль которых не получится дойти до стока <tex>t</tex>. Это очень легко реализовать: достаточно удалять ребро после того, как мы просмотрели его в обходе в глубину (кроме того случая, когда мы прошли вдоль ребра и нашли путь до стока). С точки зрения реализации, надо просто поддерживать в списке смежности каждой вершины указатель на первое неудалённое не удалённое ребро, и увеличивать этот указать указатель в цикле внутри обхода в глубину. Корректность при этом сохраняется согласно предыдущему пункту.

<tex> '''int''' dfs()</tex> <tex>p := [s]</tex> //путь p '''int''' <tex>v := s</tex>; //текущая вершина и указатель на вершину первого неудалённого ребра, '''int''' flow) <tex>'''if</tex>''' (нет пути из <tex>v</tex>flow == 0) <tex> '''return''' 0 '''if</tex> ''' (<tex>v = s</tex>) завершить алгоритм; == <tex>else</tex> <tex>begin</tex> удалить <tex>(uv)t</tex> из <tex>V(G)</tex>; //<tex>uv</tex> - последнее ребро на пути <tex>p</tex> удалить <tex>v</tex> из <tex>p</tex>; <tex>end</tex> '''return''' flow '''for''' (<tex>dou</tex> <tex>begin</tex> //<tex>w</tex> - вершина смежная с <tex>v</tex> <tex>p := p+ptr[w]</tex>; <tex>v := w;</tex>] '''to''' n) '''if''' (<tex>endvu \in E</tex>) pushed = dfs(<tex>while(w \ne t);u</tex> <tex>\delta := , min(flow, c(vw) - f(vw), (vw)\in p);</tex> vu</tex>foreach (vw)\in p </tex> <tex>- f(vw)+= \delta;</tex> //увеличиваем поток вдоль пути <tex>pvu</tex>))) <tex>if</tex> f(ребро <tex>(vw)vu</tex> насыщено)+= pushed удалить f(<tex>(vw)uv</tex> из <tex>V(G);</tex>-= pushed '''return''' pushed ptr[<tex>dfs();v</tex> } ]++ '''return''' 0

Если обход в глубину достигает стока, насыщается как минимум одно ребро, иначе как минимум один указатель продвигается вперед. Значит один запуск обхода в глубину работает за <tex>O(V + K)</tex>, где <tex>V</tex> — число вершин в графе, а <tex>K</tex> — число продвижения указателей. Ввиду того, что всего запусков обхода в глубину в рамках поиска одного [[Блокирующий поток|блокирующего потока]] будет <tex>O(P)</tex>, где <tex>P</tex> — число рёбер, насыщенных этим блокирующим потоком, то весь алгоритм поиска блокирующего потока отработает за <tex>O(PV + \sum\limits_i{K_i})</tex>, что, учитывая, что все указатели в сумме прошли расстояние <tex>O(E)</tex>, дает асимптотику <tex>O(PV + E)</tex>. В худшем случае, когда блокирующий поток насыщает все ребрарёбра, асимптотика получается <tex>O(VE)</tex>.

<b>Замечание:</b> Если в [[Схема алгоритма Диница|алгоритме Диница]] искать блокирующий поток удаляющим обходом, то его эффективность составит <tex>O(V^2E)</tex>, что уже лучше эффективности [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] <tex>O(VE^2)</tex>.

Для каждой вершины вводится потенциал потока, равный максимальному дополнительному потоку, который может пройти через эту вершину. Далее запускаем цикл, на каждой итерации которого определяем вершину <tex>v</tex> с минимальным потенциалом <tex>p</tex>. Затем пускается поток величины <tex>p</tex> из истока в сток, проходящий через эту вершину. При этом если [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|остаточная пропускная способность]] ребра равна нулю, то это ребро удаляется. Также, удаляются все вершины, у которых не остаётся ни одного входящего и/или ни одного выходящего ребра. При удалении вершины все смежные ребра рёбра удаляются.

* Для каждой вершины <tex>v</tex> вычислим входящий и исходящий потенциал вершин — сумму пропускных способностей : <tex>p_{in}=\sum \limits_{u} c(u, v)</tex> дуг сети Диницаи <tex>p_{out}=\sum \limits_{u} c(v, входящих и исходящих из вершины соответственноu)</tex>. Входящий потенциал истока Пусть <tex>p_{in}(s)=\infty</tex> и исходящий потенциал стока положим равными бесконечности<tex>p_{out}(t)=\infty</tex>. Определим потенциал или пропускную способность вершины в [[Определение сети, потока|сети]] как минимум из ее входящего и исходящего потенциалов<tex>p(v)=min(p_{in}(v), p_{out}(v))</tex>. Таким образом, потенциал вершины определяет максимально возможное количество потока, который может через нее неё проходить. Ясно, что через вершины с нулевым потенциалом <tex>p(v)=0</tex> поток проходить не может. Следовательно, их можно удалить из [[Дополняющая сеть, дополняющий путь|вспомогательной сети]]. Удалим эти вершины и дуги, им инцидентные, обновив должным образом потенциалы вершин, смежных с удаленнымиудалёнными. Если в результате появятся новые вершины с нулевым потенциалом<tex>p(v)=0</tex>, удалим рекурсивно и их. В результате во вспомогательной сети останутся только вершины с ненулевым потенциалом<tex>p(v)\ne0</tex>. * После этого приступим к построению [[Блокирующий поток|блокирующего потока]]. Пусть вершина <tex>v</tex> принадлежит <tex>k</tex>-ому слою и <tex>p(v)=min (p(w), w \in L_k)</tex>, где <tex>L_k</tex> — <tex>k</tex>-й слой. Протолкнем <tex>p(v)</tex> единиц потока из вершины <tex>v</tex> в смежные с ней вершины по исходящим дугам с [[Дополняющая сеть, дополняющий путь | остаточной пропускной способностью]] <tex>c_f \ne 0</tex>. Попутно будем переносить проталкиваемый поток в исходную сеть, а также корректировать потенциалы вершин, отправляющих и принимающих избыток потока. В результате, весь (в виду минимальности потенциала вершины <tex>v</tex>) проталкиваемый поток соберется в вершинах <tex>(k+1)</tex>-го слоя.  * Повторим процесс отправки потока из вершин <tex>(k+1)</tex>-го слоя, содержащих избыток потока, в смежные им вершины <tex>(k+2)</tex>-го слоя. И так до тех пор, пока весь поток не соберется в последнем слое, в котором содержится только сток <tex>t</tex>, ибо все остальные вершины, ранее ему принадлежащие, были удалены, поскольку их потенциалы нулевые. Следовательно, весь поток величины <tex>p(v)</tex>, отправленный из вершины <tex>v</tex>, где <tex>p(v)</tex> - минимальный полностью соберется в <tex>t</tex>.

После этого приступим к построению [[Блокирующий поток|блокирующего потока]]. Пусть вершина * На втором этапе вновь, начиная с вершины <tex>v</tex> принадлежит <tex>k</tex>-ому слою. Протолкнем <tex>p</tex> единиц , осуществляется подвод потока из вершины с минимальным потенциалом в смежные с ней вершины уже по исходящим входящим дугам с ненулевой остаточной пропускной способностью. Попутно будем переносить проталкиваемый поток в исходную сеть, а также корректировать потенциалы вершин, отправляющих и принимающих избыток потока. В результате, весь (в виду минимальности потенциала вершины <tex>v</tex>) проталкиваемый поток соберется в вершинах на первом шаге недостаток потока переадресуется к узлам <tex>(k+1)</tex>-го слоя. Повторим процесс отправки потока из вершин <tex>(k+1)</tex>-го слоя, содержащих избыток потока, в смежные им вершины затем <tex>(k+-2)</tex>-го слоя. И так до тех пор, пока весь поток не соберется в последнем слое. Заметим, что в этом слое содержится только сток, ибо все остальные вершины, ранее ему принадлежащие, были удалены из сети Диница, как вершины, имеющие нулевой потенциал. Следовательно, весь поток величины <tex>p(v)</tex>, отправленный из вершины с минимальным потенциалом полностью соберется в стоке. На втором этапе вновь, начиная с вершины вершину <tex>v</tex>, осуществляется подвод потока уже по входящим дугам. В результате на первом шаге недостаток потока переадресуется к узлам где <tex>p(k-1v)</tex>-го слояминимальный, затем не соберется в истоке <tex>(k-2)s</tex>-го. И так до тех пор, пока весь потока величины <tex>p</tex>, отправленные из вершины с минимальным потенциалом, не соберется в истоке. Таким образом, поток и во вспомогательной и в основной сети увеличится на величину <tex>p</tex>.

MPM algorithm(<tex>MPM algorithm(s, t)</tex>) { foreach <tex>for each (uv) \in E</tex> <tex>f(uv)\leftarrow 0 </tex> = 0; Вычисляем остаточную сеть <tex>R</tex>; Найдём вспомогательный граф <tex>L</tex> для <tex>R</tex>; while (<tex>while (t \in L)</tex>) <tex>begin</tex> { <tex> while</tex> (<tex>t</tex> достижима из <tex>s</tex> в <tex>L</tex>) <tex>begin</tex> { найдём <tex>v</tex> с миниальной минимальной пропускной способностью <tex>g</tex>; проталкиваем <tex>g</tex> единиц потока из <tex>v</tex> в <tex>t</tex>; проталкиваем <tex>g</tex> единиц потока из <tex>s</tex> в <tex>v</tex>; изменяем <tex>f</tex>, <tex>L</tex> и <tex>R</tex>; <tex>end</tex> } вычисляем новый вспомогательный граф <tex>L</tex> из <tex>R</tex>; } <tex>end</tex>}

Если информация о входящих и исходящих дугах будет храниться в виде связных списков, то для того, чтобы пропустить поток, на каждой итерации будет выполнено <tex>O(K + E_i)</tex> действий, где <tex>K= O(V)</tex> соответствует числу рёбер, для которых остаточная пропускная способность уменьшилась, но осталась положительной, а <tex>E_i</tex> — числу удалённых реберрёбер. Таким образом, для поиска блокирующего потока будет выполнено <tex>\sum\limits_i{O(K+E_i)} = O(K^2)</tex> действий. == См. также ==* [[Блокирующий поток]]* [[Схема алгоритма Диница]]

==Источникиинформации==*[http://e-maxx.ru/algo/dinic#8 e-maxx MAXimal :: algo :: Алгоритм Диница]