338
правок
Изменения
м
→Для циклических цепей
В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру.
Рассмотрим матрицу <tex>(kl kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной.
Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kl kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> - положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kl kI + (1 - k)P)^{n}</tex>
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\limits_{i = 0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex>
Но последнее равенство в точности означает, что последовательность <tex>P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>.
Так как вектор <tex>\alpha</tex> был получен из предельной матрицы для <tex>(kl kI + (1 - k)P)</tex>, являющейся регулярной переходной матрицей, то он будет её единственным неподвижным вероятностным вектором. Но матрица <tex>(kl kI + (1 - k)P)</tex> должна иметь те же неподвижные векторы, что и <tex>P</tex>, так как из соотношения :<tex>\pi (kl kI + (1 - k)P) = \pi</tex>,
следует, что
:<tex>\pi (1 - k) P = \pi (1 - k)</tex>
