Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру <tex>L_p</tex>. Пусть <tex...»
{{В разработке}}
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex>.
{{Определение
|definition = Для <tex>\forall x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{||x-y||}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=||x-y*||</tex>, то этот <tex>y*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>ч</tex>'''.
}}
Заметим, что нет гарантий, что <tex>y*</tex> единственный и что он вообще существует. <tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом положительной определенности у этого функционала нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
|proof=
<b>Однородность:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>, по определению нижней грани <tex>||x-y_{\varepsilon}||<E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon}</tex>.
<tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||<|\lambda|E_y(x)+|\lambda|</tex>, по аксиомам нормы: <tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||=||\lambda x-\lambda y||</tex>. Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\lambda Y_{\varepsilon}\ge E_y(\lambda x)</tex>, тогда <tex>E_y(x) < |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>.
<tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>. Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>.
Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>
<b>Неравенство треугольника:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>||x_1-y_{\varepsilon}||< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>||x_2-z_{\varepsilon}||< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>, складывая эти два неравенства, получим <tex>||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани <tex>E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>. Устремляя в предыдущем неравенстве <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)</tex>
}}
Отметим некоторый технический момент, <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>y \in Y</tex>, следовательно <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) /le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>. Замкнулись, то есть <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>. Так же, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le ||x-0||=||x||</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le ||x||</tex>. Отсюда, если <tex>x_n \to </tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть как функционал <tex>E</tex> непрерывно.
Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex>, тогда <tex>dim Y = p</tex>. К примеру, <tex>dim H_n = 2n+1
</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>
Пусть <tex>X</tex> {{---}} нормированное пространство, к примеру <tex>L_p</tex>. Пусть <tex>Y</tex> {{---}} линейное множество в <tex>X</tex>, например, <tex>H_n</tex>.
{{Определение
|definition = Для <tex>\forall x \in X</tex> величина <tex>E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{||x-y||}</tex> называется '''наилучшим приближением точки <tex>x</tex> элементами линейного множества <tex>Y</tex>'''.
Если при этом существует <tex>y* \in Y</tex> такой, что <tex>E_y(x)=||x-y*||</tex>, то этот <tex>y*</tex> называется '''элементом наилучшего приближения точки <tex>ч</tex>'''.
}}
Заметим, что нет гарантий, что <tex>y*</tex> единственный и что он вообще существует. <tex>E_y(x) \ge 0</tex>, если <tex>x \in Y</tex>, то <tex>E_y(x)=0</tex>, таким образом положительной определенности у этого функционала нет.
{{Утверждение
|statement= Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.
|proof=
<b>Однородность:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>, по определению нижней грани <tex>||x-y_{\varepsilon}||<E_y(x)+\varepsilon</tex>, где <tex>y_{\varepsilon}</tex>.
<tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||<|\lambda|E_y(x)+|\lambda|</tex>, по аксиомам нормы: <tex>|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||=||\lambda x-\lambda y||</tex>. Так как <tex>Y</tex> {{---}} линейное пространство, то <tex>\lambda y_{\varepsilon} \in Y</tex> и <tex>\lambda Y_{\varepsilon}\ge E_y(\lambda x)</tex>, тогда <tex>E_y(x) < |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)</tex>.
<tex>E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>, то есть <tex>\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})</tex>. Пусть <tex>\mu = \frac{1}{\lambda}</tex>, тогда <tex>|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)</tex>.
Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно <tex>E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)</tex>
<b>Неравенство треугольника:</b> <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: <tex>||x_1-y_{\varepsilon}||< E_y(x_1)+\varepsilon</tex> и <tex>||x_2-z_{\varepsilon}||< E_y(x_2)+\varepsilon</tex>, складывая эти два неравенства, получим <tex>||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||<E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon</tex>. По свойствам нижней грани <tex>E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||</tex>, так как <tex>y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y</tex>. Устремляя в предыдущем неравенстве <tex>\varepsilon \to 0</tex>, приходим к неравенству треугольника: <tex>E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)</tex>
}}
Отметим некоторый технический момент, <tex>\forall x \in X</tex>, <tex>\forall y \in Y</tex> выполняется: <tex>E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)</tex>, <tex>E_y(-y) = 0</tex>, так как <tex>y \in Y</tex>, следовательно <tex>E_y(x) \le E_y(x+y) /le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)</tex>. Замкнулись, то есть <tex>\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)</tex>. Так же, так как <tex>0 \in Y</tex>, то <tex>E_y(x) \le ||x-0||=||x||</tex>, следовательно, <tex>E_y(x) \le ||x||</tex>. Отсюда, если <tex>x_n \to </tex>, то <tex>E_y(x_n) \to E_y(x)</tex>, то есть как функционал <tex>E</tex> непрерывно.
Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть <tex>dim Y < +\infty</tex>, <tex>Y=\Lambda(e_1,..,e_p)</tex>, тогда <tex>dim Y = p</tex>. К примеру, <tex>dim H_n = 2n+1
</tex>, <tex>H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})</tex>
