286
правок
Изменения
Нет описания правки
==Операции со splay-деревом==
===splay(tree, x)==="splay" делится на <tex>3</tex> случая:====zig====Если <tex>p</tex> — корень дерева с сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетной. [[file:Зиг.png|800px|zig — поворот]]====zig-zig====Если <tex>p</tex> — не корень дерева, а <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — оба левые или оба правые дети, то делаем поворот ребра <tex>(p, g)</tex>, где <tex>g</tex> отец <tex>p</tex>, а затем поворот ребра <tex>(x, p)</tex>. [[file:Зиг_зиг.png|800px|zig-zig — поворот]]====zig-zag====Если <tex>p</tex> — не корень дерева и <tex>x</tex> — левый ребенок, а <tex>p</tex> — правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(x, g)</tex>, где <tex>g</tex> — бывший родитель <tex>p</tex>. [[file:Зиг_заг2.png|900px|zig-zag — поворот]] Данная операция занимает <tex> O(d) </tex> времени, где <tex> d </tex> - — длина пути от <tex> x </tex> до корня. В результате этой операции ===find(tree, x)===Эта операция выполняется как для обычного [[Дерево поиска, наивная реализация|бинарного дерева]], только после нее запускается операция splay. ===merge(tree1, tree2)===У нас есть два дерева <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex> x \mathtt{tree2}</tex> становится корнем , причём подразумевается, что все элементы первого дерева, а расстояние до корня меньше элементов второго. Запускаем splay от каждой вершины сокращается примерно пополамсамого большого элемента в дереве <tex>\mathtt{tree1}</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>\mathtt{tree1}</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, что связано с разделением случаев "zig-zig" при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>\mathtt{tree2}</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и "zig-zag"возвращаем полученное дерево.
===Mergesplit(tree, x)===Merge(Запускаем splay от элемента <tex>T_1x</tex>, <tex>T_2</tex>). У нас есть и возвращаем два дерева <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex>, причём подразумеваетсяполученные отсечением правого или левого поддерева от корня, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay в зависимости от самого большого элемента в дереве <tex>T_1</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого того, содержит корень <tex>T_1</tex> содержит элемент <tex>i</tex>больше или не больше, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>T_2</tex> правым поддеревом чем <tex>ix</tex> и возвращаем полученное дерево.
===Split===Splitadd(<tex>i</tex>tree, <tex>T</tex>x). Запускаем Splay от элемента <tex>i</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>i</tex>.===Add===Add(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>). Запускаем Splitsplit(<tex>i</tex>tree, <tex>T</tex>x), который нам возвращает деревья <tex>T_1\mathtt{tree1}</tex> и <tex>T_2\mathtt{tree2}</tex>, их подвешиваем к <tex>ix</tex> как левое и правое поддеревья соответственно.
===Removeremove(tree, x)=== Remove(<tex>i</tex>, <tex>T</tex>). Запускаем Splay splay от <tex>ix</tex>-го элемента и возвращаем Merge от его детей.
== Анализ операции splay ==
[[Амортизационный анализ | Амортизационный анализ]] сплей-дерева проводится с помощью метода потенциалов. Потенциалом рассматриваемого дерева назовём сумму рангов его вершин. Ранг вершины <tex>vx</tex> — это величина, обозначаемая <tex>r(vx)</tex> и равная <tex>\log_2 C(vx)</tex>, где <tex>C(vx)</tex> — количество вершин в поддереве с корнем в <tex>vx</tex>.
{{Лемма
|id = Lemma1
|statement=
Амортизированное время операции splay вершины <tex>vx</tex> в дереве с корнем <tex>t</tex> не превосходит <tex>3r(t) - 3r(vx) + 1</tex>
|proof=
Проанализируем каждый шаг операции splay. Пусть <tex>r'</tex> и <tex>r</tex> — ранги вершин после шага и до него соответственно, <tex>up</tex> — предок вершины <tex>vx</tex>, а <tex>wg</tex> — предок <tex>up</tex> (если есть).
Разберём случаи в зависимости от типа шага:
'''Zigzig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(vx) + r'(up) - r(vx) - r(up)</tex> (поскольку только у вершин <tex>vx</tex> и <tex>up</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>up</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le leqslant 1 + r'(vx) - r(vx)</tex>. Ранг вершины <tex>vx</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(vx) - r(vx) \ge geqslant 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le leqslant 1 + 3r'(vx) - 3r(vx)</tex>. '''zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r'(p) \leqslant r'(x)</tex>, получаем, что <tex>T \leqslant 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r(x) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(x) - r'(x)) + (r'(g) - r'(x)) = \log_2 \dfrac {C(x)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)}</tex>.
'''zig-zag'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) - r(g)</tex>. Поскольку <tex>r'(x) = r(g)</tex>, то <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r'(ux) \le leqslant r'(vp)</tex>, получаем, что то <tex>T \le leqslant 2 + r'(vp) + r'(wg) - 2r(vx)</tex>.
Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>32(r'(vx) - r(vx))</tex>, то есть, что <tex>r'(vp) + r'(wg) - 2r'(vx) \le leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: Но, поскольку <tex>(r(v) - r'(v)p) + (r'(wg) - r2r'(v)x) = \log_2 \fracdfrac {C'(vp)}{C'(vx)} + \log_2 \fracdfrac {C'(wg)}{C'(vx)}\leqslant -2</tex>- аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать.
}}
==ЛитератураТеорема о близких запросах в сплей-дереве== {{Теорема |about = о близких запросах в сплей-дереве|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>. Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>. Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение в вершине, к которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос. |proof = Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов: <tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1} </tex>. По условию выполняется <tex> m </tex> запросов, следовательно <tex> T = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} t_{i} = \sum_{i=1}^{m} \left (a_{i} + \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \sum_{i=1}^{m} a_{i} + \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) </tex> <tex> (\ast) </tex>. Введем следующие обозначения: * Весом узла с ключом <tex> q </tex> будем называть величину <tex> w(q) =\displaystyle \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right )^{2}} </tex>. * Размером узла, содержащего ключ <tex> q </tex>, будем называть величину <tex> s(q) = \displaystyle \sum_{y} w(y) </tex>, где <tex> y </tex> {{---}} узлы поддерева с корнем в <tex> q </tex>. * <tex> r(q) = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла. * Потенциал дерева после <tex> i </tex>-го запроса обозначим как <tex> \Phi_{i} = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q) </tex>. Пусть <tex> W </tex> {{---}} вес дерева. Тогда <tex> W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w(q) = \sum_{q=1}^{n} \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+\infty} \dfrac {1}{ \left ( \lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} = O(1) </tex>. Последнее верно, так как при фиксированном <tex> f </tex>, начиная с некоторого места, а именно <tex> q = f </tex>, ряд сходится. Из определения размера узла следует, что <tex> w(q) \leqslant s(q) \leqslant W </tex>. Также заметим, что для любого <tex> q </tex> от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex> верно, что <tex> w(q) \geqslant \displaystyle \dfrac {1}{n^{2}} </tex>, так как максимальное значение знаменателя в определении <tex> w(q) </tex> достигается при <tex> q = n </tex> и <tex> f = 1 </tex> или наоборот. Тогда, воспользовавшись полученными оценками, найдем изменение потенциала сплей-дерева после <tex> m </tex> запросов: <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \Phi_{0} - \Phi_{m} \leqslant \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) = \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \dfrac {W}{w(q)} </tex> <tex> \displaystyle = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left (n \log_{2}n\right) </tex>. Первое неравенство верно, так как максимальное значение потенциала достигается при <tex> s(q) = W </tex>, а минимальное при <tex> s(q) = w(q) </tex>, а значит изменение потенциала не превышает разности этих величин. Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной [[# Lemma1|леммой]] (можно показать, что она верна для любого фиксированного определения веса узла) получаем, что <tex> \displaystyle a_{i} = 3 \cdot \left ( r(t) - r(q_{i}) \right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {s(t)}{s\left (q_{i}\right)}\right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {W}{w(q_{i})}\right) + 1 = </tex> <tex> O\left (\log_{2} \left (W \cdot \left (\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right)^{2} \right ) \right ) + 1 = O\left (\log_{2} \left (\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right ) + 1 </tex>. Докажем, что данное определение потенциала удовлетворяет условию [[Амортизационный анализ|теоремы о методе потенциалов]]. Для любого <tex> i </tex> верно, что <tex> a_{i} = O(\log_{2}(n)) </tex>, так как <tex> \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \leqslant n </tex>, и <tex> \Phi_{i} = O(n\log_{2}(n)) </tex>, как было показано выше. Так как количество операций на запрос <tex>k = O(n) </tex>, то <tex> a_{i} = O(f(k,n)) </tex> и <tex> \Phi_{i} = O(kf(k,n)) </tex>, где <tex> f(k,n) </tex> {{---}} функция из теоремы о методе потенциалов, равная в данном случае <tex> \log_{2}n </tex>. Следовательно, потенциал удовлетворяет условию теоремы. Тогда, подставляя найденные значения в формулу <tex> (\ast) </tex>, получаем, что <tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left ( \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) + O\left ( n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \left (n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right)</tex>. }} Данная теорема показывает, что сплей-деревья поддерживают достаточно эффективный доступ к ключам, которые находятся близко к какому-то фиксированному ключу. ==Splay-деревья по неявному ключу==Splay-дерево по неявному ключу полностью аналогично [[Декартово дерево по неявному ключу|декартову дереву по неявному ключу]], неявным ключом также будет количество элементов дерева, меньших данного. Аналогично, будем хранить вспомогательную величину <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве. К операциям, которые уже были представлены в декартовом дереве, добавляется splay, но пересчет <tex>C(x)</tex> в ней тривиален, так как мы точно знаем, куда перемещаются изменяемые поддеревья. == См. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[B+-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]] ==Источники информации==*[[wikipedia:en:Splay_Tree|Википедия {{---}} Splay tree]]*[http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/self-adjusting.pdf Sleator, Daniel SleatorD.; Tarjan, Robert Tarjan E."A data structure for dynamic treesSelf-Adjusting Binary Search Trees"]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Деревья поиска ]]