Изменения

|statement= Если у строки есть [[Основные определения, связанные со строками|период]] длины <tex>k</tex>, то у нее есть период длины <tex>(|k \cdot x)|</tex>, где <tex> x \in N</tex>.

Пусть Длина длина строки равна <tex>n</tex>. Тогда из определения периода имеем, что<br/>Доказательство будем вести по индукции по числу <tex>\forall i = 1 \ldots n - kx</tex>, .<br/>Для <tex>\alpha [i] x = \alpha[i + k]1 </tex>утверждение очевидно.<br/>Это Пусть верно для <tex>x = m</tex>. Докажем, что верно для всех таких <tex>ix = m + 1</tex>.<br/>Из определения периода имеем, значит получаем что<br/><tex>\forall i = 1 \ldots n - k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + k]</tex>., а из предположения индукции, что<br/><tex>\alpha [forall i + k] = 1 \alpha[i + 2k]ldots n - k</tex>.<br/>, <tex>\alpha [i + 2k] = \alpha[i + 3km \cdot k]</tex>.<br/>Значит получаем, что для <tex> \forall i = 1 \ldots n - k</tex><br/><tex>\alpha [i] = \alpha [i + (x - 1) m \cdot k] = \alpha[i + x m \cdot k + k]</tex>., следовательно<br/>Следовательно для <tex>\forall i = 1 \ldots n + 1 - x \cdot k</tex>, <tex>\alpha [i] = \alpha[i + x (m + 1) \cdot k]</tex>.<br/>Значит у строки есть период длины <tex>|(k m + 1) \cdot x)k|</tex>.<br/>Утверждение доказано.