355
правок
Изменения
→Описание выпуклости с помощью касательных
=== Описание выпуклости с помощью касательных ===
{{Теорема
|id=описание выпуклости с помощью касательных
|statement=Пусть функция ''f'' дифференцируема на <tex>\langle a, b\rangle</tex>. Тогда ''f'' выпукла вниз на <tex>\langle a, b\rangle</tex> в том и только том случае, когда график ''f'' лежит не ниже любой своей касательной, то есть <tex>\forall x, x_0 \in \langle a, b\rangle</tex>
<tex>f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)</tex>.
|proof=1. Необходимость. Пусть ''f'' выпукла вниз, <tex>x, x_0 \in \langle a, b\rangle</tex>.
Если <tex>x > x_0</tex>, то по [[#лемма о трех хордах|лемме о трех хордах]] <tex>\forall \eta \in (x_0, x)</tex>
<tex>{f(\eta) - f(x_0) \over \eta - x_0} \le {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}</tex>.
Устремляя <tex>\eta</tex> к <tex>x_0</tex> справа, получаем неравенство
<tex>f'(x_0) \le {f(x) - f(x_0) \over x-x_0}</tex>,
равносильное неравенству в теореме.
Если <tex>x < x_0</tex>, то по [[#лемма о трех хордах|лемме о трех хордах]] <tex>\forall \xi \in (x,x_0)</tex>
<tex>{f(\xi)-f(x_0)\over\xi-x_0}\ge{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}</tex>.
Устремляя <tex>\xi</tex> к <tex>x_0</tex> слева, получаем неравенство
<tex>f'(x_0) \ge {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}</tex>,
равносильное неравенству в теореме.
2. Достаточность. Пусть <tex>\forall x,x_0 \in \langle a, b\rangle</tex> верно неравенство в теореме. Возьмем <tex>x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2, \ x \in (x_1, x_2)</tex>. Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам <tex>x_1</tex> и <tex>x</tex>, а затем - к <tex>x_2</tex> и <tex>x</tex>, получаем
<tex>f(x_1) \ge f(x) + f'(x)(x_1 - x)</tex>,
<tex>f(x_2) \ge f(x) + f'(x)(x_2 - x)</tex>,
что равносильно
<tex>{f(x) - f(x_1)\over x-x_1}\le f'(x)\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}</tex>.
Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из [[#определение выпуклости|определения выпуклости]].
}}
=== Дифференциальный критерий выпуклости ===
