Изменения

<tex>\mathrm{LSAT} =\{\langle\phivarphi,y\rangle | \mid \exists x: x<_\leqslant_{lex}y, \phivarphi(x) = 1\}</tex>, где <tex> \varphi </tex> {{---}} [[Определение_булевой_функции | булева формула]] из <tex>n</tex> переменных, <tex>x, y \in \{0,1\}^{n} </tex> и отношение <tex> \leqslant_{lex} </tex> задает [[Лексикографический порядок | лексикографический порядок]].

|about=1|statement=<tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPC}</tex>.

#Очевидно, что <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NP}</tex>(в качестве [[Классы_NP,_coNP,_Σ₁,_Π₁#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F.2C_.D1.81.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D1.8C_.CE.A3.E2.82.81_.D0.B8_NP|сертификата]] можно запросить <tex>x</tex>).#[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи | Сведём ]] <tex>\mathrm{SAT}</tex> к <tex>\mathrm{LSAT}</tex>. Для этого рассмотрим отображение <tex>\phi varphi \mapsto \langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle</tex>, где <tex>m|\varphi|</tex> — количество различных аргументов переменных в формуле <tex>\phivarphi</tex>. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное. #*Если <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>, то формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, а значит <tex>\exists x: x <_\leqslant_{lex} 1^m{|\varphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Такой <tex> x </tex> cуществует, потому что формула удовлетворима и любой вектор длины <tex> |\varphi| </tex> меньше либо равен единичному, значит мы переберем всевозможые вектора. Следовательно, <tex>\langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.#*Если <tex>\langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>, то <tex>\exists x: x <_\leqslant_{lex} 1^m{|\varphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Значит формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, и <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>.:Таким образом, <tex>\mathrm{SAT } \le leqslant \mathrm{LSAT}</tex>. Но [[Теорема Кука | по теореме Кука ]]<tex>\mathrm{SAT } \in \mathrm{NPC}</tex>, а значит для любого <tex>\forall L \in \mathrm{NP } </tex> выполнено <tex> L \; L leqslant \le mathrm{SAT}</tex>. Тогда в силу транзитивности <tex>\forall L \in \mathrm{NP } \; L \le leqslant \mathrm{LSAT}</tex>, то есть <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPH}</tex>.Итого , мы доказали, что <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPH}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NP}</tex>. Тогда по определению <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPC}</tex>.

|about=2|statement=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}, y<_{lex}z</tex>. Тогда <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.|proof=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда <tex>\exists x: x<_\leqslant_{lex}y, \phivarphi(x) = 1</tex>. Так как <tex>y<_{lex}z</tex>, то <tex>\exists x: x<_{lex}z, \phivarphi(x) = 1</tex>, следовательно <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.

<tex>\mathrm{NPC } \cap \mathrm{SPARSE } \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.|proof=Пусть <tex>S \in \mathrm{NPC } \cap \mathrm{SPARSE}</tex>. Так как <tex>S\in \mathrm{NPC}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT} \in \mathrm{NPC}</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f</tex> такая, что <tex>\langle \varphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT} \Leftrightarrow f(\langle \varphi, y \rangle) \in S</tex>. Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, то <tex>f(\langle\varphi,y\rangle) \leqslant q(|\varphi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.<tex>S\in \mathrm{SPARSE}</tex>, следовательно <tex>\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\leqslant p(n)</tex>, где <tex>p</tex>— некоторый полином.

Так как Тогда <tex>|\{x\in S \mid |x| \leqslant q(|\varphi|)\}| = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\varphi|)}|S\in NPCcap \Sigma^i| \leqslant \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\varphi|)} p(i) = r(|\varphi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином. Опишем алгоритм для нахождения лексикографически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формуле <tex>\varphi</tex>. Пусть <tex>n=|\varphi|, r=r(|\varphi|)</tex>. Изначально область поиска для <tex>x</tex> — все строки длины <tex>n</tex>. Опишем одну итерацию поиска. Разобьём текущее множество строк на <tex>r+1</tex> подотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0, \ldots ,w_{r+1}</tex>. И <tex>w_0 < w_1 < \ldots < w_{r+1} </tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\varphi,w_i\rangle)</tex>. Из леммы (2) мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>l</tex>, и все пары <tex>\langle\varphi, w_l\rangle \in \mathrm{LSAT }</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in NPS</tex> для всех <tex>j\geqslant l</tex>. Рассмотрим два случая: # <tex>z_i=z_j</tex> для некоторого <tex> j > i </tex> . Строки <tex>z_i</tex> и <tex>z_j</tex> либо обе лежат в <tex>S</tex>, то существует полиномиальная функция сведения либо обе не лежат в <tex>S</tex>. Если <tex>f:LSAT z_i, z_j \mapsto in S</tex> такая, что то по сведению <tex>\langle \phivarphi, w_i \rangle, \langle \varphi, y w_j \rangle \in NPC \iff fmathrm{LSAT}</tex>, то есть получаем <tex> x \leqslant w_i < w_j </tex>. Тогда по вышеуказанной причине <tex>x\notin (w_i, w_j]</tex>. Значит мы можем исключить этот полуинтервал из рассматриваемого множества. Таким образом, мы удаляем не менее <tex>\langle dfrac 1{r+1}</tex> часть множества подстановок.# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>x \phiin [w_0, w_1]</tex>, y то все <tex>z_i</tex>, начиная с <tex>z_1</tex>, лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\ranglevarphi|) </tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S\mid |x| \leqslant q(|\varphi|)\}| \leqslant r(|\varphi|)</tex>. Следовательно, <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения. В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\dfrac 1{r+1}</tex> её размера.  Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая{{---}}то из них удовлетворила формуле <tex>\varphi</tex>, то <tex>x=\min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\varphi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> не существует. Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более <tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k</tex> строк. Оценим <tex>k</tex>. Нам нужно, чтобы <tex>2^n\left(1-\dfrac1{r+1}\right)^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex> (это можно получить, выразив <tex>k</tex> через <tex>n</tex> и <tex>r</tex> и воспользовавшись [[Формула Тейлора для произвольной функции | формулой Тейлора]] для логарифма).  Таким образом, мы можем разрешить язык <tex>\mathrm{LSAT}</tex> за полиномиальное время, найдя лексикографически минимальную строку, удовлетворяющую формуле, и сравнив её с нашим аргументом. Так как <tex>\mathrm{LSAT}\in \mathrm{NPC}</tex>, то мы можем решить любую задачу из <tex>\mathrm{NP}</tex> за полиномиальное время, а значит <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.