74
правки
Изменения
→Препроцессинг
{{Шаблон:Задача|definition == Постановка задачи LCA ==Пусть дано корневое дерево <tex>T</tex>. На вход подаются запросы вида <tex>(u,\;v)</tex>, для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.}}
{{Определение
|id=lca_suf_tree|definition = '''Наименьшим общим предком ''' (англ. ''least common ancestor)''' ) двух узлов <tex>u, </tex> и <tex>v</tex> в корневом дереве <tex>T</tex> называется узел <tex>w,</tex> , который среди всех узлов, являющихся предками как узла <tex>u,</tex> , так и <tex>v,</tex> , имеет наибольшую глубину.
}}
== Алгоритм ==
=== Идея ===
Будем решать задачу <tex>LCA</tex>, уже умея решать задачу <tex>RMQ</tex>. Тогда поиск наименьшего общего предка <tex>i</tex>-того и <tex>j</tex>-того элементов сводится к запросу минимума на отрезке массива, который будет введен позднее.
=== Препроцессинг ===
\end{cases}</tex>
Ясно, что глубина вершины элементарным образом поддерживается во время обхода в глубину.
Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] из корня, который будет вычислять значения следующих величин:
#Cписок глубин посещенных вершин <tex>d</tex>. Глубина текущей вершины добавляется в конец списка при входе в данную вершину, а также после каждого возвращения из её сына.
#Список посещений узлов <tex>\mathtt{vtx}</tex>, строящийся аналогично предыдущему, только добавляется не глубина а сама вершина.
#Значение функции <tex>\mathtt{I}[u]</tex>, возвращающей индекс в списке глубин <tex>d</tex>, по которому была записана глубина вершины <tex>u</tex> (например на момент входа в вершину).
Вот таким образом будет выглядеть массив <tex>\mathtt{vtx}</tex> после обхода в глубину:
=== Запрос ===
{{Теорема
|statement=
|proof=
Рассмотрим два узла <tex>u, v</tex> корневого дерева <tex>T</tex>. Для определенности считаем, что <tex>u</tex> является первой при поиске в глубину. На отрезке Рассмотрим отрезок <tex>depthd[\mathtt{I}[u]..end\mathtt{I}[v]]</tex> (<tex>end</tex> . Поскольку этот отрезок {{---}} последний элемент в путь из <tex>depthu</tex>) хранятся узлы посещенные после в <tex>uv</tex> и, быть может, некоторые вершины из поддерева с корнем он проходит через их наименьшего общего предка <tex>uw</tex>(которые имеют глубину в дереве есть только один простой путь между вершинами), а следовательно минимум на отрезке никак не больше глубины <tex>uw</tex>). Аналогично на Заметим, что в момент добавления <tex>depth[1..\mathtt{I}[v]u]</tex> {{---}} вершины, посещенные до обход посещал поддерево с корнем <tex>vw</tex> и некоторые вершины из поддерева . В момент добавления <tex>\mathtt{I}[v]</tex>. Рассмотрим теперь отрезок мы все еще в поддереве с корнем <tex>depth[I[u]..I[v]]w</tex>. Поскольку этот отрезок {{---}} путь из Значит, и на отрезке между <tex>\mathtt{I}[u]</tex> в и <tex>\mathtt{I}[v]</tex>, он проходит через их наименьшего общего предка мы находились внутри поддерева с корнем <tex>w</tex>(в дереве есть только один простой путь между вершинами). ПокажемОтсюда сделаем заключение, что его глубина минимальна на рассматриваемом отрезке не посещалась вершина, отличная от <tex>depth[I[u]..I[v]]w</tex>. Допустим обратное. Все потомки , с глубиной меньшей либо равной глубины <tex>w</tex> имеют глубину больше, т. к. Но тогда получим, что поиск подобной вершины нет в глубину вышел из поддерева вершины поддереве с корнем <tex>w</tex> раньше, чем посетил вершину <tex>v</tex>.}}.
== Пример ==
Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом.
Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину {{- --}} <tex>[0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].</tex>
Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке <tex>[2, 1, 0, 1].</tex>
[[Файл:Lca to rmq.png(2).png|thumb|leftcenter|рис. 1400x200px|Рисунок к примеру]]
<div style='clear:left;'></div>
== Сложность ==
Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать [[Дерево отрезков. ПостроениеАлгоритм Фарака-Колтона и Бендера|дерево отрезковалгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]. Длина массива глубин будет равна для <tex>(2n - 1),\pm 1RMQ</tex> , т.ек. дерево отрезков будет построено за соседние элементы в списке глубин отличаются не более чем на единицу. Длина списка глубин составляет <tex>O(n2n - 1).</tex> Таким , таким образом, препроцессинг работает за <tex>O(n).</tex> . Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. {{---}} <tex>O(\log n1).</tex>.
== См.также ==
*[[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера]]
*[[Сведение задачи RMQ к задаче LCA]]
== Ссылки Источники информации ==
*[http://e-maxx.ru/algo/lca Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]