Изменения
Нет описания правки
<math>\phi</math> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <math>a^n=a^m,\, n<m<r</math>, тогда
<math>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</math>. Но <math>r>m-n>0</math>, т.е. <math>r</math> - не минимальная степень <math>a</math>, равная <math>e</math>. Противоречие. Значит, <math>\phi</math> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
== p-группы ==
Пусть <math>p</math> - простое число. Тогда если <math>0<a<p</math>, то <math>a</math> и <math>p</math> взаимно просты. Это означает, что выполнено соотношение Безу: <math>u\cdot p+v\cdot a=1</math> для некоторых целых <math>u,v</math>. При этом можно считать, что <math>0<v<p</math>, т.к. в противном случае можно прибавить и вычесть <math>a\cdot p</math>, отчего <math>v</math> увеличится(уменьшится) на <math>p</math>, а <math>u</math> уменьшится(увеличится) на a. Иными словами, <math>\forall a\in\mathbb{N},\,0<a<p : \exists v\in\mathbb{N},\,0<v<p : a\cdot v\equiv 1\mod p</math>. Это означает, что числа от 1 до <math>p</math> вместе с операцией умножения образуют группу <math>\mathbb{Z}_p</math>.
