Изменения
Новая страница: «Рассмотрим конечную группу <math>G</math>, <math>\vert G\vert=n</math>. Занумеруем элементы: <math>g_1,g_2,...,g_n</math>. …»
Рассмотрим конечную группу <math>G</math>, <math>\vert G\vert=n</math>. Занумеруем элементы: <math>g_1,g_2,...,g_n</math>.
Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:
<math>\phi_i:G\rightarrow G,\,\phi_i(a)=g_i\cdot a</math>
Это отображение, очевидно, сюръективно (прообразом элемента <math>x</math> служит <math>g_i^{-1}\cdot x</math>), инъективно(<math>g_i\cdot a = g_i\cdot b\,\Leftrightarrow\, a=b</math>), а значит, и биективно. Иными словами, оно является перестановкой.
Определим отображение <math>\psi:G\rightarrow S_n,\,\psi(g_i)=\phi_i</math>. При этом <math>\phi_i</math> рассматривается как перестановка. Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом: <math>\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)</math>. Раз образ гомоморфизма является подгруппой, то верно утверждение: любая конечная группа изоморфна(для этого надо еще упомянуть, что различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент) некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы. Такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется '''регулярным представлением'''.
Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:
<math>\phi_i:G\rightarrow G,\,\phi_i(a)=g_i\cdot a</math>
Это отображение, очевидно, сюръективно (прообразом элемента <math>x</math> служит <math>g_i^{-1}\cdot x</math>), инъективно(<math>g_i\cdot a = g_i\cdot b\,\Leftrightarrow\, a=b</math>), а значит, и биективно. Иными словами, оно является перестановкой.
Определим отображение <math>\psi:G\rightarrow S_n,\,\psi(g_i)=\phi_i</math>. При этом <math>\phi_i</math> рассматривается как перестановка. Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом: <math>\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)</math>. Раз образ гомоморфизма является подгруппой, то верно утверждение: любая конечная группа изоморфна(для этого надо еще упомянуть, что различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент) некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы. Такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется '''регулярным представлением'''.
