Изменения
Новая страница: «== Смежные классы == Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множ…»
== Смежные классы ==
Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множество вида <math>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</math>
Аналогично определяется и правый смежный класс <math>Ha</math>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
'''Теорема''': Левые смежные классы <math>G</math> по подгруппе <math>H</math> либо не пересекаются, либо совпадают.
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <math>aH</math> и <math>bH</math> с общим элементом <math>c</math>. Докажем, что <math>aH\subseteq bH</math>. Пусть <math>g=a\cdot h,\,h\in H</math> принадлежит <math>aH</math>. Известно: <math>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</math>.
Тогда <math>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</math>, поскольку <math>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</math>. Значит, <math>aH\subseteq bH</math>. Аналогично <math>bH\subseteq aH</math>.
== Теорема Лагранжа ==
'''Теорема:''' В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.
'''Доказательство''': Пусть <math>G</math> - конечная группа, а <math>H</math> - ее подгруппа. Любой элемент <math>G</math> входит в некоторый смежный класс по <math>H</math> (<math>a</math> входит в <math>aH</math>). Мощность каждого класса равна <math>\vert H\vert</math>, т.к. отображение <math>x\rightarrow a\cdot x биективно</math>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <math>\vert G\vert</math> делится на <math>\vert H\vert</math>.
'''Следствие:''' <math>a^{\vert G\vert}=e</math>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <math>H=\langle a\rangle</math>: ее порядок равен порядку элемента <math>a</math>, но <math>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</math>.
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <math>G</math> группу <math>\mathbb{Z}_p</math>, получаем при <math>a<p</math>:
<math>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</math>
== Нормальные подгруппы ==
Подгруппа <math>H</math> группы <math>G</math> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <math>x\in G</math> выполнено <math>xHx^{-1}=H</math>. Т.е.:
<math>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</math>
== Факторгруппа ==
Рассмотрим группу <math>G</math> и ее нормальную подгруппу <math>H</math>. Пусть <math>G/H</math> - множество смежных классов <math>G</math> по <math>H</math>. Определим в <math>G/H</math> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <math>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</math>. Докажем, что <math>abH=a_1 b_1 H</math>. Достаточно показать, что <math>a_1\cdot b_1 \in abH</math>.
<math>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</math>
Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множество вида <math>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</math>
Аналогично определяется и правый смежный класс <math>Ha</math>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
'''Теорема''': Левые смежные классы <math>G</math> по подгруппе <math>H</math> либо не пересекаются, либо совпадают.
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <math>aH</math> и <math>bH</math> с общим элементом <math>c</math>. Докажем, что <math>aH\subseteq bH</math>. Пусть <math>g=a\cdot h,\,h\in H</math> принадлежит <math>aH</math>. Известно: <math>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</math>.
Тогда <math>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</math>, поскольку <math>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</math>. Значит, <math>aH\subseteq bH</math>. Аналогично <math>bH\subseteq aH</math>.
== Теорема Лагранжа ==
'''Теорема:''' В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.
'''Доказательство''': Пусть <math>G</math> - конечная группа, а <math>H</math> - ее подгруппа. Любой элемент <math>G</math> входит в некоторый смежный класс по <math>H</math> (<math>a</math> входит в <math>aH</math>). Мощность каждого класса равна <math>\vert H\vert</math>, т.к. отображение <math>x\rightarrow a\cdot x биективно</math>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <math>\vert G\vert</math> делится на <math>\vert H\vert</math>.
'''Следствие:''' <math>a^{\vert G\vert}=e</math>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <math>H=\langle a\rangle</math>: ее порядок равен порядку элемента <math>a</math>, но <math>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</math>.
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <math>G</math> группу <math>\mathbb{Z}_p</math>, получаем при <math>a<p</math>:
<math>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</math>
== Нормальные подгруппы ==
Подгруппа <math>H</math> группы <math>G</math> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <math>x\in G</math> выполнено <math>xHx^{-1}=H</math>. Т.е.:
<math>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</math>
== Факторгруппа ==
Рассмотрим группу <math>G</math> и ее нормальную подгруппу <math>H</math>. Пусть <math>G/H</math> - множество смежных классов <math>G</math> по <math>H</math>. Определим в <math>G/H</math> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <math>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</math>. Докажем, что <math>abH=a_1 b_1 H</math>. Достаточно показать, что <math>a_1\cdot b_1 \in abH</math>.
<math>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</math>
