Изменения
Новая страница: «{{В разработке}} == Группа == Моноид <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется '''группой''', если для каждо…»
{{В разработке}}
== Группа ==
Моноид <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется '''группой''', если для каждого элемента существует обратный:
<tex>\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e</tex>
где <tex>e</tex> -- нейтральный элемент моноида.
Обратный элемент единственен. Действительно, пусть <tex>y_1</tex> и <tex>y_2</tex> -- два обратных к <tex>x</tex> элемента. Тогда имеем:
<tex>y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2</tex>
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
[[Категория: Теория групп]]
== Группа ==
Моноид <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется '''группой''', если для каждого элемента существует обратный:
<tex>\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e</tex>
где <tex>e</tex> -- нейтральный элемент моноида.
Обратный элемент единственен. Действительно, пусть <tex>y_1</tex> и <tex>y_2</tex> -- два обратных к <tex>x</tex> элемента. Тогда имеем:
<tex>y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2</tex>
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
[[Категория: Теория групп]]
