Изменения
→Доказательство
'''Теорема''': любая подгруппа <math>H</math> циклической группы <math>G</math> сама является циклической группой.
=== Доказательство ===
Все элементы группы <mathtex>G</mathtex> с образующей <mathtex>a</mathtex> представимы в виде <mathtex>a^n</mathtex>. Предположим, что <mathtex>H</mathtex> нетривиальна. Возьмем наименьшее ненулевое <mathtex>n</mathtex>, что <mathtex>a^n\in H</mathtex> и положим <mathtex>a^n=b</mathtex>. Пусть теперь есть некоторое <mathtex>c\in H</mathtex>. Раз <mathtex>c\in H\subseteq G</mathtex>, то <mathtex>c=a^m</mathtex> для некоторого <mathtex>m</mathtex>. Имеем <mathtex>m=k\cdot n+r</mathtex>, где <mathtex>r<n</mathtex>. Вместе с <mathtex>b</mathtex> и <mathtex>c</mathtex> H содержит и <mathtex>b^{-k}\cdot c=a^r</mathtex>. Поэтому если <mathtex>r\neq 0</mathtex>, то <mathtex>n</mathtex> - не минимальное ненулевое число, что <mathtex>a^n\in H</mathtex>. Таким образом, необходимо <mathtex>r=0</mathtex>. Значит, все элементы <mathtex>H</mathtex> представимы в виде <mathtex>b^m</mathtex> для некоторого m, что и означает, что <mathtex>H</mathtex> - циклическая группа.
