Изменения

# Так как <tex> TS(p,x) \ge Sle T(p, x)</tex>, для любых то <tex>p, x \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} </tex>.

Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B \Rightarrow </tex> выполнено <tex>U_B \in \mathrm{NP}^B}</tex> (легко написать программу, проверяющую сертификатсертификатом будет слово нужной длины из <tex>B</tex>). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P}^B}</tex>.

Рассмотрим Пронумеруем полиномиальные программы, получим последовательность машин Тьюринга <tex>M_iP_i</tex>, имеющих доступ к оракулу языка . Множество <tex>B</tex>. Будем будем строить <tex>B</tex> такитеративно, чтобы на очередной итерации номер <tex>i</tex>-м шаге было выполнено: <tex>T(M_i, x) \ge 2^{|x|-1}</tex>. Очевидноделая так, что это утверждение сильнее, чем программа <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}P_i</tex>. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число шагов.* 0-й шаг: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>.* <tex>i</tex>-й шаг. Будем считать, шаги с 0-го по <tex>(i-1)</tex>-й сделаны. Тогда <tex>B</tex> на данном этапе — конечное не распознает множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex>:** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на предыдущем шаге, то она сохраняется;** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.Но <tex>M_i</tex> могла остановится раньше, чем за <tex>2^{n-1}</tex> шагов и вернуть какое-либо значение. Но мы строим <tex>B</tex> с условием <tex>T(M_i, x) \ge 2^{n-1}</tex>, поэтому решение машины должно быть неверным:* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то будем считать, что выбросим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определено. Тогда <tex>x \in B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу, а всего слов длины n <tex>2^nU_B</tex>.

ПредположимВ начале каждой итерации определимся с тем, что с какой длиной слова <tex>n_i</tex> мы будем работать. Для <tex>M_in_i</tex> отработала менее, чем за время должны быть выполнены три условия:* <tex>2^{nn_i} > T(P_i, (1)^{n_i})</tex> (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы)* <tex>n_i > n_{i-1}</tex>(слово должно быть длиннее, чем слово, тогда с которым мы работали на предыдущем шаге)*если <tex>M_in_i > \max\limits_{s \in B} |s|</tex>, где <tex>B</tex> допускает слово {{---}} текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве <tex>1^nB</tex>всегда конечное число элементов). Кроме этого, слово должно быть длиннее, чем все слова, про которые наш оракул раньше ответил, то что в множестве <tex>B</tex> их нет слова . Затем запустим программу <tex>P_i</tex> на слове <tex>(1)^n</tex>;. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества <tex>B</tex>, будем делать следующее:*если запрошенное слово ранее было добавлено в множество <tex>M_iB</tex>, отвечаем <tex>ACCEPT</tex>* в противном случае отвечаем <tex>REJECT</tex> отклоняет  Если программа отработала и решила, что слово <tex>(1)^n</tex> принадлежит языку <tex>U_B</tex>, то ничего делать не надо: ни одного слова длины <tex>n</tex> в языке <tex>B</tex> содержится нет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов). В противном случае, необходимо найти такое слово длины <tex>xn</tex>, причем о котором программа <tex>P_i</tex> не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины <tex>|x| = n</tex>), и добавить это слово в множество <tex>B</tex>.Противоречие.Следовательно, никакая машина После этого все слова длины <tex>M_in</tex> не может решить автоматически добавятся в язык <tex>U_B</tex> за время меньшее , и программа <tex>P_i</tex> не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове <tex>2(1)^{n-1}</tex>).