Изменения
→Классификации циклических групп
=== Классификации циклических групп ===
{{Теорема|id=th1|about=О изоморфности циклических групп|statement='''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.|proof=
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
}}
== p-группы ==
