Изменения

|statement=Пусть даны две конструируемые по памяти функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, что <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DSPACE(gf(n))\neq varsubsetneq DSPACE(fg(n))</tex>.

Для доказательства воспользуемся диагональным методом. Рассмотрим функцию <tex>h(n)=\sqrt{f(n)g(n)}</tex> и язык <tex>L=\{x|x(x)\Bigr|_{sS\leq h(|x|)}\neq 1\}</tex>, где запись <tex>sS\leq h(|x|)</tex> означает, что программа запускается с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex>. Иначе говоря, <tex>L</tex> — это язык программ, которые не допускают собственный код, используя памяти не более <tex>h(|x|)</tex>. Докажем, что <tex>L\in DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex>.<br/>Т. к. Так как <tex>h(n)=o(g(n))</tex>, то очевидно, что <tex>L \in DSPACE(g(n))</tex>. Действительно, для проверки принадлежности программы <tex>x</tex> языку достаточно запустить её с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex> и проверить, что результат не равен 1. Тогда вся проверка будет выполнена с использованием не более <tex>g(|x|)</tex> памяти в силу конструируемости функций <tex>hf</tex> и <tex>g</tex> и накладываемых ограничений на память. <br />Предположим теперь, что <tex>L \in DSPACE(f(n))</tex>. Тогда существует программа <tex>p</tex>, распознающая язык <tex>L</tex> и использующая не более <tex>c \cdot f(n)</tex> памяти. Т. к. Так как <tex>f(n)=o(h(n))</tex>, то <tex>\exists n_0: \forall n>n_0~c\cdot f(n)<h(n)</tex>. Будем считать, что <tex>|p|>n_0</tex> (иначе добавим в программу пустые строки, искусственно увеличив её длину), тогда при вызове <tex>p(p)</tex> потребуется не более <tex>h(|p|)</tex> памяти. Выясним, принадлежит ли <tex>p</tex> языку <tex>L</tex>. Допустим, что <tex>p\in L</tex>, тогда <tex>p(p)=1</tex>, значит, <tex>p\notin L</tex> по определению языка <tex>L</tex>. Пусть теперь <tex>p\notin L</tex>. Но тогда <tex>p(p)=1</tex>, следовательно, <tex>p\in L</tex>. Таким образом, язык <tex>L</tex> не может быть из <tex>DSPACE(f(n))</tex>, следовательно, язык из <tex>DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex> найден.}}

|statement=Пусть даны две конструируемые по времени функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, <span title="Здесь Sim(n) — время симуляции n шагов одной машины Тьюринга на другой машине" style="border-bottom: 1px dotted; cursor: help;">что</span> <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{Sim(f(n))}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DTIME(gf(n))\neq varsubsetneq DTIME(fg(n))</tex>.