221
правка
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= Отображение <tex>\phi:G_1 \rightarrow G_2</tex> группы <tex>\langle G_1, \cdot\rangle</tex> …»
{{Определение
|definition=
Отображение <tex>\phi:G_1 \rightarrow G_2</tex> [[группа|группы]] <tex>\langle G_1, \cdot\rangle</tex> в группу <tex>\langle G_2,\times\rangle</tex> называется '''гомоморфизмом''', если оно сохраняет групповую структуру:
:<tex>\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)</tex>
}}
=== Свойства гомоморфизмов ===
{{Утверждение
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>).
|proof=
По определению гомоморфизма имеем:
:<tex>\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)</tex>.<br />
Следовательно, <tex>\phi(e_1) = e_2</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>
|proof=
<tex>\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)</tex>
что вместе с единственностью обратного к <tex>\phi(x)</tex> элемента означает <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>.
}}
[[Категория: Теория групп]]
|definition=
Отображение <tex>\phi:G_1 \rightarrow G_2</tex> [[группа|группы]] <tex>\langle G_1, \cdot\rangle</tex> в группу <tex>\langle G_2,\times\rangle</tex> называется '''гомоморфизмом''', если оно сохраняет групповую структуру:
:<tex>\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)</tex>
}}
=== Свойства гомоморфизмов ===
{{Утверждение
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>).
|proof=
По определению гомоморфизма имеем:
:<tex>\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)</tex>.<br />
Следовательно, <tex>\phi(e_1) = e_2</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>
|proof=
<tex>\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)</tex>
что вместе с единственностью обратного к <tex>\phi(x)</tex> элемента означает <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>.
}}
[[Категория: Теория групп]]
