Изменения

{{Определение|definition= '''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на [[Моноид | моноиде]]. Например, следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ)суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера <tex>a[i...j]N*N</tex>, где <tex>i</tex> объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и <tex>j</tex> поступают на вход алгоритма)многочленов.}} При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[i...jl \ldots r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти и выстраивается из массива за , а ее построение требует <tex>O(n)</tex>времени.

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по <tex>2 ребёнка </tex> ребенка и содержат сумму или минимум/максимум результат операции от своих детей (в зависимости от поставленной задачи вершины могут содержать многие другие операциинапример минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0...\ldots n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <texdpi=120>[0...\ldots\dfrac{n/}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <texdpi=120>[\dfrac{n/}{2}+1...\ldots n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

[[Файл:Segment_tree.jpg|right|380px|thumb|Пример дерева отрезков для вычисления сумм]]Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \ge geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n/}{2}+\dfrac{n/}{4...} \ldots +1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память. Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей (обозначим в коде эту операцию как "<tex> \circ </tex>"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>\mathtt{tl}</tex> и <tex>\mathtt{tr}</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>\mathtt{tl}=0</tex>, <tex>\mathtt{tr}=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>. Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков. [[Файл:Segment_tree.png|Пример дерева отрезков для минимума]] Реализация построения сверху:  '''function''' treeBuild('''T''' a[], '''int''' i, '''int''' tl, '''int''' tr): <font color=green>// мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) </font> '''if''' tr - tl == 1 t[i] = a[tl] '''else''' tm = (tl + tr) / 2 <font color=green>// середина отрезка</font> treeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm) treeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr) t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2] Реализация построения снизу:

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы значением функции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся значением функции своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а так же переменные <tex>tl</tex> и <tex>tr</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала==См. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>iтакже=0</tex>, <tex>tl=0</tex>, <tex>tr=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает * [[Реализация запроса в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева дереве отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.сверху]]

*[[Реализация:запроса в дереве отрезков снизу]]

TreeBuild(a[], i, tl, tr) if (tl = tr) return; if (tr - tl = 1) t[i] = a[tl]; else tm = (tl + tr) / 2; //середина отрезка TreeBuild(a, 2*i+1, tl, tm); TreeBuild(a, 2*i+2, tm, tr); t[i] = f(t[2*i+1Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления], t[2*i+2]);

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков==Источники информации== * [http: построение снизу и построение сверху//habrahabr. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню, а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверхуru/post/115026/ Хабрахабр — Статья Максима Ахмедова]] спускается от корня к листьям, как указано в реализации. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

==Ссылки==* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 - Дискретная математика: Алгоритмы — Визуализатор дерева отрезков]

* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree - MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 - Википедия — Дерево отрезков — Википедия]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Моноид - Википедия — Моноид — Википедия]