Изменения
Нет описания правки
Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{BPP}</tex>. Существует вероятностная машина Тьюринга <tex>M</tex>, такая что <tex>P(M(x) = [x \in L]) \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}}</tex>, где <tex>p(n)</tex> некоторый полином, который будет определен позднее. Пусть <tex>M</tex> использует <tex>r(n)</tex> бит случайной ленты.
Зафиксируем <tex>x</tex>. Возьмем <tex>G = \{0, 1\}^{r(n)}</tex>. Рассмотрим множество <tex>A_x = \{r \in G \mid bigm| M(x,r) = 1\}</tex>. Подберем теперь <tex>p(n)</tex> и <tex>k</tex> так, чтобы <tex>x \in L \Leftrightarrow A_x</tex> <tex>k</tex>-большое.
Если <tex>x \in L</tex>, то <tex>P(A_x) = \frac{|A_x|}{2^{r(n)}} \geqslant 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \Rightarrow |A_x| \geqslant 2^{r(n)} \left( 1 - \frac{1}{2^{p(n)}} \right)</tex>. Потребуем <tex>2^{r(n)} \left( 1 - \frac{|A_x|}{2^{r(n)}} \right)^k \leqslant 2^{r(n) - kp(n)} < 1</tex>, чтобы <tex>A_x</tex> было бы <tex>k</tex>-большим.
