Изменения
Нет описания правки
|proof=
При <tex>p=2, p=3</tex> доказательство очевидно. Докажем для <tex>p\geqslant 5</tex>. Так как <tex>\mathbb{Z}_p</tex> - поле, то для каждого <tex>x</tex> есть такое <tex>y</tex>, что <tex>xy\equiv 1(mod p)</tex>. Может оказаться, что для некоторых <tex>0\leqslant x\leqslant p-1</tex> выполнено <tex>x=y</tex>. Найдём все такие <tex>x</tex>, что <tex>x^2\equiv 1(mod p)</tex>. <tex>x^2-1\equiv 0(mod p) \Rightarrow (x-1)(x+1)\equiv 0(mod p)</tex>. Значит <tex>x\equiv 1(mod p)</tex> или <tex>x\equiv p-1(mod p)</tex>.
Из этого следует, что множество <tex>{2,3,\cdots,p-2}</tex> разбивается на пары такие, что произведение чисел внутри каждой из них сравнимо с <tex>1</tex> по модулю<tex>p</tex>. Таким образом <tex>(p-2)!\equiv 1(mod p)</tex>. Но <tex>p-1\equiv -1(mod p)</tex>. Следовательно <tex>(p-1)!\equiv -1(mod p)</tex>
}}
