Изменения

== Утверждение =={{ОпределениеУтверждение|definition statement= Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:Пусть <tex>f \in \sigma_nmathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f,(x) = \fracleq M</tex>. Тогда <tex>m \leq \frac1{1}{n+1b - a}\sumint\limits_a^b f \limits_{kleq M</tex>|proof=0}По условию <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем каждую часть:  <tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>. Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.  <tex>m \leq \frac1{nb - a}S_n(\int\limits_a^b f,x)\leq M</tex>.

Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: === Следствие === {{Утверждение|statement=Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\sigma_nexists c \in [a; b]: f(c) = \frac{1}frac1{n+1b - a}\int\limits_a^b f</tex>|proof=Определим <tex>m = \min\limits_{Q[a; b]}f(x+t)D_n(t)dt </tex>, <tex>M = \intmax\limits_{Q[a; b]}f(x)\frac</tex>. Тогда <tex>[m; M]</tex> {{1---}} множество значений функции. По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{n+1b - a}\sumint\limits_{k=0}limits_a^{n}D_k(t)dtb f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex>найдётся.}}

|definition = '''Ядро Фейера''' - Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \Phi_nint\limits_a^x f(t)=dt</tex>, <tex>f \frac{1}{n+1}in \sum\limits_{k=0}^mathcal{nR}D_k(ta, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.

Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{kСвойства =0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

<tex dpi="150">\Phi_n=\fracF</tex> {1}{2\pi(n+1)---}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2непрерывна на <tex>[a; b]</tex>.

Так как <tex dpi="150">\Phi_nf </tex> ограничена (tв силу [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]])=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum, то <tex>\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}texists M: \sin{|f| \frac{t}{2}})=leq M</tex> . Тогда <tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi|F(nx +1\Delta x)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{F(k+1)t}x)| =\frac{1}{2left|\pi(n+1)}int\fraclimits_x^{1-\cos{(nx +1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}Delta x}=f\frac{1}{2right| \pi(n+1)}leqslant M \frac{Delta x \sin^2Rightarrow F</tex> {\frac{n+1}{2}t---}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex>непрерывна.

Из === Теорема Барроу ==={{Теорема|author=Барроу|statement=Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>. Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.|proof=Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex> <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в отличии от ядра Дирихлеточке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex> Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>.По первому утверждению получаем <tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quadf(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f\leqslantf(x_0) + \varepsilon </tex>

{{Определение|definition = Устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>\intfrac{\limits_Delta F(x_0, \Delta x)}{Q\Delta x}|D_n\to f(tx_0)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''.

|id = barrou_sl|statement= Пусть <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}f</tex> при больших {{---}} непрерывна на <tex>n[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.|proof= <tex>\int\limits_{Q}|D_nF(tx)|dt \sim = \int\limits_{0}limits_a^{x f \pi} \frac {|\sin Rightarrow F'(x) = f(x)</tex> В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(n+ \frac12x)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin f(2n+ 1x)t|}{\sin t} dt</tex>{{---}} одна из первообразных.

Так как на <tex> [0; \frac{\pi}{2}] </tex> выполняется двойное неравенство <tex> \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t </tex>Значит, то можно рассматривать <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\piнеопределённый интеграл существует.}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt </tex>.

Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:= Формула Ньютона-Лейбница ==

{{Теорема|about=формула Ньютона-Лейбница|statement=Пусть <tex> F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда <tex>F(b) - F(a) = \int\limits_{0}limits_a^b f(x) dx</tex>|proof=Так как <tex>f</tex> {\frac{\pi}{2n+1---}} интегрируема, то <tex>\frac {|forall \sin (2n+ 1)t|}{t} dt tau \le \int\limits_{0}limits_a^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt b f </tex> равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для <tex>\le const tau</tex>.

Оценка сверху: Поэтому, если <tex> \int\limits_tau</tex> {\frac{\pi---}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n разбиение <tex>[a; b]</tex>., то

Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin F(2n+ 1b)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 - F(2n+ 1a)t}{t} dt = \frac12 \intsum\limits_{\frac{\pi}{2n+1}k = 0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} n - \frac12 _{\frac{\pi1}F(x_{2nk +1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos ) - F(4n+ 2x_k)t}{t} dt \sim ln n </tex>.Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив в каждой скобке формулу Лагранжа, получим:

Отсюда <tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex> <tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex> <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем требуемоенужную формулу.

Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке=== Следствие ===Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:{{Утверждение|statement=Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще<tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>}} == Формулы ===== Вычисление определенного интеграла по частям === <tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>

Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что === Вычисление определенного интеграла сложной функции === {{Утверждение|id = formula2|statement=Пусть <tex>y = f(x), \sumx \limits_{kin (a; b) \quad x =1}^{\infty}a_k = varphi(t), \ t\in[\limalpha; \limits_{n beta]</tex> <tex>\to varphi(t) \infty}S_nin [a; b]</tex>, где <tex>S_nb =\sumvarphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex> Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{k=1t_1}^{nt_2}a_nf(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>|proof =Монотонность <tex>\varphi</tex>не требуется. Для расходящихся рядовЭто связано с тем, можно применять обобщенные методы суммированиячто мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.<!--({{TODO|t=что за бреееед????}}) Все нормально--> Как правило, главноев этих формулах считается, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективностичто все функции непрерывны. К примеру, если  <tex>f</tex>\sigma_n=\frac{1{---}{n}непрерывна на <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\sumexists F: \limits_{nF' =1}^{\infty}S_k \to Sf</tex> По формуле Ньютона-Лейбница, то <tex>\sumint\limits_{n=1}limits_a^{\infty}a_n b f = SF(b) - F(a)</tex> по методу средних арифметических. В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>G(t) = F(\varphi(t))</tex> <tex>G'(t) = F'(x) \frac{a_0}{2}+varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex> <tex>\sumint\limits_{n=1t_1}^{\inftyt_2}f(a_n\cos{nx}+b_nvarphi(t)) \sin{nx}varphi'(t) dt = G(t_2) - G(t_1)=F(\lim\limits_{n \to varphi(t_2)) - F(\infty}S_nvarphi(f,xt_1))=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_nF(b) - F(f,xa)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.}}