Изменения

|author= Риман-Лебег|statement= Пусть <tex>f \in L_1</tex>, тогда при <tex>a_n n \to 0\infty </tex>, <tex>b_n a_n \to 0</tex>, при <tex>n b_n \to \infty0</tex>.|proof= <tex>|a_n(f)| = \frac{1}{\pi}|\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx|</tex>. Обозначим <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex> в <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то по свойству тригонометрических функций выполняется:<tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)\cos{nx}dx = 0</tex>

Пусть <tex>T_{n-1}(f)_1</tex> {{---}} полином наилучшего приближения функции <tex>f</tex>, степени, не большей <tex>n-1</tex>, в пространстве <tex>L_1</tex>. Так как это сумма вида <tex>\frac{c_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{m-1}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})</tex>, то, по свойству тригонометрических функций, выполняется: <tex>\int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1 \cos{nx}dx = 0</tex>. <tex>\int\limits_{Q}f(x)\cos{nx}dx = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx + \int\limits_{Q}T_{n-1}(f,x)_1\cos{nx}dx = </tex><tex> = \int\limits_{Q}(f(x)-T_{n-1}(f,x)_1)\cos{nx}dx</tex>.  Тогда <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1||\cos nx| \le \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}|f(x)-T_{n-1}(f)_1| = </tex> </tex> = \frac{1}{\pi}||f-T_{n-1}(f)_1|| = \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>, то есть <tex>|a_n(f)|\le \frac{1}{\pi}E_{n-1}(f)_1</tex>.  По обобщенной теореме Вейерштрасса , <tex>E_{n-1}(f)_1 \to 0</tex>, следовательно , <tex>a_n(f) \to 0</tex>. Для  Доказательство для <tex>b_n</tex> доказывается аналогичноприведенному выше.

 Следует иметь ввидув виду, что <tex>\int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|</tex> не стремится к 0, поэтому грубая оценка, что <tex>|a_n(f)| \le \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q}|f(x)||\cos{nx}|dx</tex> ни к чему не ведет. То, что лемма Римана-Лебега была написана для <tex>2\pi</tex>-периодичных функций не имеет принципиального значения, так как на самом деле справедлив общий факт.:

|author= Риман-Лебег|statement= Пусть <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f < +\infty</tex>, то есть <tex>f</tex> {{---}} суммируема на всей оси, тогда <tex>\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\cos(px) \to 0</tex> при <tex>p \to \infty</tex>.|proof= Обе леммы равносильны. Первая получается из второй, если подставить <tex>f =0</tex> вне отрезка <tex>Q</tex>. В обратную сторону: нужно перевести суммируемое множество в отрезок <tex> [-\pi; \pi] </tex>. {{TODO|t=WUT?}}

В частности из Из леммы Римана-Лебега получается важный результат, называемый '''принципом локализации Римана рядов Фурье'''.

|author= Риман|statement= Пусть <tex>f,g \in L_1</tex>, <tex>0 < \delta < \pi</tex>, <tex>x \in \mathbb{R}</tex>.  Пусть также в <tex>\delta</tex>-окрестности точки <tex>x</tex> выполняется <tex>f = g</tex>, тогда <tex>\lim\limits_{n \to \infty}(S_n(f,x)-S_n(g,x))=0</tex>|proof= <tex> S_n(f, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>. <tex> S_n(g, x) = \frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} g(x+t) \frac{\sin (n+\frac12)t}{\sin \frac{t}2}dt </tex>. Разобьем данные интегралы на три части: <tex> \int\limits_{-\pi}^{\pi} = \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{-\delta}^{\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} </tex>. Рассмотрим разность двух сумм: <tex> S_n(f, x) - S_n(g, x) = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} - \int\limits_{-\pi}^{-\delta} + \int\limits_{\delta}^{\pi} - \int\limits_{\delta}^{\pi}) </tex> (интегралы по участку <tex> [-\delta; \delta] </tex> равны). Рассмотрим, например, первый из четырех интегралов: <tex> \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x+t) \frac1{\sin \frac{t}2} (\cos \frac{t}2 \sin nt + \sin \frac{t}2 \cos nt) dt = </tex> <tex> = \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{-\delta} f(x +t) ctg \frac{t}2 \sin t dt + \frac1{2\pi} (\int\limits_{-\pi}^{TODO-\delta}f(x + t) \cos nt dt </tex>. Так как функции <tex> f(x+t) ctg \frac{t}2 </tex> и <tex> f(x+t) </tex> суммируемы на <tex> (-\pi; -\delta) </tex>, то оба интеграла стремятся к нулю при <tex> n \to \infty </tex>. Аналогично поступаем с тремя остальными частями разности.