Изменения

В этом параграфе установим ряд результатов, гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{{TODO|n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt =Прочитайте ну хоть кто-то0</tex>, это адекватно вообще? А то чукча не читательчто равносильно <tex>S_n(f, чукча {{---}} писатель}}x) \to S</tex>.

В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \phi_x(t) D_n(t) dt __TOC__ == Теорема Дини == 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.

|author=Дини|statement=<tex>f\in L_1</tex>, <tex>s S \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt< +\infty</tex> , где <tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x + t) + f(x -t) --}} конечен2S</tex> . Тогда <tex>s S = \lim\limits_{n\to\infty} s_nS_n(f, x)</tex>|proof=<tex>s_nS_n(f, x) - s S = \int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex><tex>= \frac1{2\pi} \int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t)\frac1{2\pi} \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>

По лемме Римана-Лебега, так как <tex>\phi_xvarphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, первое слагаемое при <tex>n\to\infty</tex>

Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt < \varepsilon</tex>

Тогда <tex>\left|\int\limits_0^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt \right|</tex><tex>\le \int\limits_0^{\pi delta} |\phi_xvarphi_x(t)| \frac1frac{1}{\sin t/2 [\ge t/\pi]} \cdot 1 \cdot dt + </tex><tex>\left| \int\limits_\delta^\pi \phi_xvarphi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2}\sin nt dt \right|</tex>

<tex>\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}{t} dt</tex>

Так <tex>\int\limits_\delta^\pi \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 </tex> по лемме Римана-Лебега, так как <tex>\phi_xvarphi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, а <tex>\frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex> {{---}} — ограниченная, то,по лемме Римана-Лебега, <tex>\int\limits_\delta^\pi \stackrel{n\to\infty}{\to} 0 </tex>и суммируемая.

Выведем некоторые следствия: === Следствие о четырех пределах ===

|statement=Пусть в точке точка <tex>x</tex> существует <tex>f(x \ne 0)</tex> (левый и правый пределы) и регулярна, а также существуют <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, и <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна<tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>

Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)-+f(x-0)}{2}</tex>

<tex>\frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0)|}{t}</tex>

Значит, <tex>\ \frac{|\phi_xvarphi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуляи суммируема, а значитто есть, суммируемаятеорема Дини применима.

|statement=Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_nS_n(f, x) \to sS</tex>. Тогда <tex>y S = \frac{f(x+0)-+f(x-0)}2</tex>

<tex>\delta_nsigma_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>

Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_nS_n(f, x) \ to sS</tex>, то и <tex>\delta_nsigma_n(f, x) \to sS</tex>.

Тогда, по единству единственности предела, <tex>sS=\frac{f(x+0)-+f(x-0)}{2}</tex>}} === Следствие 3 ===

|statement=<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>|proof=Действительно, из совпадания совпадения коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n sigma_n(f, x) \to f(x)</tex>, <tex>\delta_n sigma_n(g, x) \to g(x)</tex> для любого <tex> x </tex>. Тогда, совпоставляя сопоставляя с равентсом равенством сумм, по единственности предела, получаем: <tex>f=g</tex>.