403
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{В разработке}}
{{TODO|t=читай@рефакторь}}
<tex>\frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha</tex>
<tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx = r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>
<tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>
Если <tex>f\in C</tex>, то по теореме Фейера, в <tex>L_p</tex>, суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex.
Другим языком, ряд Фурье будет суммироваться к <tex>f</tex> методом средних арифметических равномерно.
Значит, согласно теореме Харди, учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
С другой стороны, если составить разность <tex>s_n(f,x) - f(x)</tex> и обозначить
<tex>T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения в <tex>C</tex>.
Тогда <tex>E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex>
Значит, <tex>s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x)) + s_n(T_n, x)</tex>
<tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) </tex> [применяя интеграл Дирихле]
<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + (T_n(x) - f(x)</tex>
Поэтому, <tex>|f_n(f, x) - f(x)|</tex>
<tex>\le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Итого: <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt ? \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C</tex>
<tex>= \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
<tex>\|f(x)-f\|_C \le (e_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \to \infty</tex>
Если <tex>e_nE_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|f_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>e_n ~ \ln n</tex>, приходим к очередному признаку:
{{Утверждение
|statement=<tex>E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>
|proof=
{{TODO|t=зарефакторить сюды то, что выше}}
}}
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0}{2}</tex>.
С другой стороны, для таких функций <tex>nx|a_n(t)| \le \frac Mn</tex>
Значит, соответственно, <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{n^2}</tex>
<tex>< M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{n(n-1)}</tex>
<tex>= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} \frac1k</tex>
<tex>= \frac{M}{n - 1}</tex>
Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>
{{Теорема
|author=Жордан
|statement=Ряд Фурье <tex>2\pi</tex>-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
{{TODO|t=И его, и его!}}
}}
Мы оцениваем <tex>\sum r_n^2</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с
ограниченной вариацией.
{{Теорема
|statement=<tex>f\in CV \Rightarrow \forall x f</tex> разкладывается в равномерносходящийся ряд Фурье
|proof=
{{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}
}}
==Примеры==
Приведём некоторые примеры на эту тему.
===Пример===
<tex>
f(x) = \begin{cases}
-1 &, x\in\langle-\pi; 0\rangle\\
1 &, x \in\langle0; \pi\rangle\\
\end{cases}
</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодично продолженная.
<tex>\langle\rangle</tex> можно ставить, так как
<tex>a_1(t) = \frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx </tex> {{---}} интеграл Лебега, на множестве нулевой меры
его можно менять как душе угодно.
Функция нечётная <tex>\Rightarrow</tex> коэффициенты при косинусах нулевые.
<tex>b_n(f) = \frac2\pi \int\limits_0^\pi \sin nx dx </tex>
<tex>=-\frac2\pi \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>=\frac2{\pi n} (1 - (-1)^n)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2k, k \in \mathbb{Z}\\
\frac{4}{\pi n} &, n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}</tex>
Составим ряд Фурье: <tex>\sigma(f, x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin (2m+1)x</tex>
Хотим найти сумму. Очевидно, <tex>f \in \bigvee</tex>
В любом случае, <tex>\sigma(f, x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
<tex>=\begin{cases}
0 &, x = 0\\
-1 &, x < 0\\
1 &, x > 0
\end{cases}</tex>
Значение в нуле:
<tex>\sigma(f, 0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin 0 = 0</tex>
Значение в <tex>\frac\pi2</tex>:
<tex>\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}</tex>
<tex>= \frac4{\pi(2m+1)}</tex>
===Пример===
<tex>f(x) = |x|</tex>, <tex>x \in \langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодически продолженная.
Получаем функцию из класса <tex>CV</tex>, ряд Фурье равномерно сходится к ней.
Функция чётная, значит, будут только слагаемые с косинусами:
<tex>a_n(f) = \frac2\pi \int\limits_Q x \cos nx dx</tex>
<tex>= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) </tex>
<tex>= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2 [???? wtf why n^2?] } \cos nx \big|_0^\pi</tex>
<tex>= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)</tex>
<tex>= \begin{cases}
0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\
-\frac{n}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\
\end{cases}
</tex>
<tex>a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx</tex>
<tex>\frac2\pi \frac{\pi^2}2 = \pi</tex>
На <tex>\langle-\pi; \pi\rangle</tex>, <tex>|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}</tex>
<tex>x = 0: \frac{\pi^2}8 = \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2}</tex>
