Изменения
→Алгоритм решения
==Алгоритм решения==
Пусть <tex> i_1, i_2, \cdots i_r </tex> последовательность работ, выполняемых на станке с номером <tex> j </tex>. Тогда вклад этих работ в целевую функцию будет равен <tex> p_{i1}\frac{r}{s_j} + p_{i2}\frac{r-1}{s_j}+ \cdots +p_{ir}\frac{1}{s_j} </tex>. [[Задача_о_минимуме/максимуме_скалярного_произведения|Отсюда ]] видно, что сумма оптимальна, когда последовательность <tex> p_{ij} </tex> не убывает.
Теперь введем неубывающую последовательность <tex> t_1, t_2 ... t_n </tex>, которая состоит из <tex> n </tex> минимальных элементов из множества <tex> \{\frac{1}{s_1}, \frac{1}{s_2} \cdots \frac{1}{s_m}, \frac{2}{s_1}, \frac{2}{s_2} \cdots \frac{2}{s_m}, \frac{3}{s_1} \cdots \}</tex>. Тогда <tex> t_i</tex> показывает на каком станке и какой по счету с конца должна выполняться работа с номером <tex>i</tex> в отсортированном по длительности списке работ. Сопоставляя работы и <tex> t_i</tex> составляем расписание.
Приведенный алгоритм верен.
|proof=
# Докажем правильность выбора мест работ. Станок, на котором выполняется работа, и номер работы на этом станке с конца определяет определяют коэффициент перед длительностью выполнения <tex> p_i\frac{t}{s_j} </tex>, тут <tex> t</tex> {{-- -}} номер работы с конца, а <tex>j</tex> {{--- }} номер станка. Именно с таким коэффициентом работа войдет в целевую функцию. Мы выбираем минимальные <tex>n</tex> коэффициентов, следовательно, взяв хотя бы один другой коэффициент, мы увеличим время работы.# Докажем, что работы надо сопоставлять в порядке не убывания. Предположим , у нас есть коэффициенты <tex> t_i </tex> и <tex> t_j </tex>, такие что <tex> t_i \le t_j </tex> и работы <tex> p_k \ge p_l </tex>, и мы сопоставили <tex> t_i </tex> с <tex> p_l </tex>, а <tex>t_j</tex> с <tex>p_k</tex>. Тогда, если мы поменяем работы местами, то значение целевой функции станет меньше на <tex> p_k(t_j - t_i)+p_l(t_i-t_j) = (p_k - p_l)(t_j-t_i) \ge 0</tex>. Видно, что результат не ухудшится.
}}
