1679
правок
Изменения
→7 Следствие о двух пределах
= 7 Следствие о двух пределах =
{{TODOУтверждение|about=следствие Фейера о двух пределах|statement=Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>|proof=Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>. Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>. Для таких <tex>t </tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>, и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>. Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = пилим\frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке. }}
= 8 Всюду плотность множества <tex> C </tex> в пространствах <tex> L_p </tex> =
