Изменения

Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n(f, x) =\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_{Q}f(x+t)D_nD_k(t)dt = \int\limits_{Q}f(x+t)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>

Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_n(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>, что принято называть '''интегралом Фейера'''. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q0}^{\pi}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сходимости сумм Фейера в индивидуальной точке <tex>x</tex>. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.