1679
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>
<tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>
Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \int \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши <tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{n\ln n} = \ln \ln x \big|^\infty_0 = +\infty</tex>. Значит, это не ряд Фурье.
Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n (f) \sin nx</tex>
<tex>\int\limits_0^x A_n(f, xt) dx + dt = \frac{a_n(f)}n \sin nx nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nx nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>
