Теоретические вопросы по III-IV модулям
Дисциплина "Геометрия и алгебра" (весенний семестр)
Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу.
=Линейные операторы=
== Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.==
'''Линейный оператор''' {{---}} отображение между линейными пространствами, сохраняющее линейную структуру. <br>
Пусть <tex>E_1, E_2</tex> {{---}} линейные пространства. <tex>\mathcal{A}:E_1 \to E_2</tex> называется линейным оператором, если
<tex>\mathcal{A}(\alpha x + \beta y) = \alpha \mathcal{A}x + \beta \mathcal{A}y</tex>. Иногда их называют '''гомоморфизмами'''.
Да, естественно <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> над одним полем <tex>K</tex>, <tex>\alpha, \beta \in K</tex>, <tex>x, y \in E_1</tex>, <tex>\mathcal{A}x, \mathcal{A}y \in E_2</tex>.
== Пространство линей ных операторов. ==
== Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. ==
== Алгебра операторов и матриц ==
Множество '''всех''' операторов <tex>\mathcal{A}: X \to Y</tex> (<tex>X, Y</tex> над полем <tex>K</tex>) образует линейное пространство. <br>
Это линейное пространство обозначается как <tex>X \times Y</tex> {{---}} '''прямое произведение подпространств'''.
== Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.==
== Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.==
== Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.==
== Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.==
=Тензорная алгебра=
== Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.==
== Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.==
== Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.==
== Свертка тензора. ==
== Транспонирование тензора.==
== Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.==
== Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.==
=Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве=
== Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.==
== Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.==
== Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление. ==
== Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
== Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
== Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.==
== Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.==
=Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида=
== Ультраинвариантные подпространства.==
== Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.==
== Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.==
== Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.==
== Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.==
== Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. ==
== Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).==
== Жорданова форма матрицы линейного оператора.==
== Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.==
=Евклидово пространство.=
== Метрические, нормированные и евклидовы пространства.==
== Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.==
== Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.==
== Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ==
== Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.==
== Задача о перпендикуляре.==
== Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.==
== Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.==
== Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.==
== Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.==
== Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.==
== Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.==
== Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.==
==Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.==
== Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.==
== Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.==
== Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.==
== Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.==
== Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.==
