Изменения

Ранее нами введено [[наилучшее приближение ]] в <tex> C</tex>:

<tex> E_n(f)_C = E_n(f) = \inf \| f - T \|_C, T \in H_n</tex>.

<tex> \exists T_n(f)_C = T_n(f): E_n(f) = \| f - T_n(f) \|_C </tex> — полином наилучшего приближения.

<tex> E_n(f) </tex> — полунорма, <tex> \forall T \in H_n, E_n(T) = 0</tex>. <tex> E_n(f) = E_n(f + T)</tex>

<tex> \omega(f, h)_C </tex> — [[модуль непрерывности функции ]] <tex> = \sup\limits_{|t| \le h} \| f(\cdot + t) - f(\cdot) \|_C = \sup\limits_{|x_2 - x_1| \le h|} |f(x_2) - f(x_1)|</tex>

<tex> E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>.

Группу теорем, которая позволяет судить о скорости стремления наилучшего приближения к нулю называют «прямыми теоремами теории аппроксимации функций (конструктивной теории функций)». Одной из характеристик, которой описывают структурные свойства фунции, является [[модуль непрерывности]].

Чтобы судить о <tex> E_n(f)</tex>, надо строить приближение функции в виде полинома таким образом, чтобы уметь оценивать его отклонение от самой функции в терминах модуля непрерывности. Тогда само отклонение будет не меньше модуля непрерывности, и само приближение будет оценено через него.

<tex> s_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) D_n(t) dt</tex>

<tex> \sigma_n(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t) dt</tex>

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt, J_n </tex> — тригонометрический полином, произвольное ядро. Заменим <tex> y = x + t</tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(y) J_n(y - x) dy</tex>

<tex> J_n(y - x) = TT_n(x) </tex> — тригонометрический полином по <tex> x</tex>, коэффициенты которого зависят от <tex> y</tex>.

<tex> A(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) J_n(t) dt</tex>.

Пусть <tex> \int\limits_Q J_n(t) = 1, J_n(t) \ge 0</tex>.

<tex> |f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t)| dt </tex>

|f(x) - A(f, x)| \le \int\limits_Q |f(x + t) - f(x)| J_n(t) dt \le \int\limits_Q \omega(f, |t|) J_n(t) dt <tex>\le \int\limits_Q \omega^*(f, |t|) J_n(t) dt \le </tex> (применим [[неравенство Йенсена]] для выпуклых функций) <tex> \le \omega^*(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) \le 2 \omega(f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt)</tex>

<tex> f </tex> — непрерывная, <tex> 2 \pi </tex> - периодическая функция.

<tex> \| f - A(f) \|_C \le 2 \sigma omega (f, \int\limits_Q |t| J_n(t) dt) </tex>, где <tex> \int\limits_Q |t| J_n(t) dt </tex> называется первым, абсолютным моментом ядра.

Из этого неравенства видно, что суть получения основных теорем состоит в том, чтобы удачно подобрать усредняющее ядро, чтобы <tex> \omega \to 0 </tex> при <tex> n \to \infty</tex>.

<tex> \int\limits_Q d_n(t) = \frac1{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac</tex> {nt}{2}}{\sin\frac{TODO|t}{2=а доказать?}} \right)^4 </tex>

{{Утверждение|statement=<tex> \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \in H_le \frac{3}{4} \frac{1}{n} </tex>|proof=<tex> \int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n-2} — тригонометрический полином}^{\pi} </tex>

<tex> \int\limits_Q d_nlimits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right) ^4 dt \le </tex><tex> \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n} </tex>

Докажем, что \int\limits_0^{2 \pi} t d_n(t) \le \frac{3}{4} \frac{1}{n} — установим этот факт: \int\limits_0^{2 \pi} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} \left( \frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \right)^4 dt \le \int\limits_0^{\frac{\pi}{2n}} t \frac{n^4}{2 \pi n (2 n^2 + 1)} dt = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2 n} \right)^2 \frac{n^3}{2 \pi (2n^2 + 1)} \le a \frac{1}{n} <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n}}^{\pi} t \frac{\pi^4}{t^4} \frac{1}{2 \pi n (2 n^2 +1)} dt = \frac{1}{2} \frac{1}{2 \pi n (2n^2 +1)} \left( \frac{4 n^2}{\pi^2} - \frac{1}{\pi^2} \leftright) \le b \frac{1}{n}</tex>. Неравенство установили.}}

<tex> f \in C \Rightarrow E_n(f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{n + 1})</tex>

<tex> Y(f, x) = \int\limits_Q f(x + t) d_n(t) dt </tex> — интеграл Джексона Y_n(f) \in H_{2n - 2}  E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) — четные E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) — нечетные

\frac{3 \pi}{m + 1} = \frac{3 \pi}{<tex> Y_n(2n - 2f) + 1} = \frac{3 \pi}in H_{2n - 12} </tex> \frac{3 \pi}{2 n}, m = 2n - 2

<tex> E_{2n - 2} (f) \le \| f - Y_n(f) \| \le 2 \omega (f, \int\limits_Q |t| d_n(t) dt) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>{{TODO|t=что-то мутно}}Для четных членов:: <tex> E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, \frac{3 \pi}{m 2 n}) </tex>: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 2) + 1} = \frac{3 \pi}{2n - 1} > \frac{3 \pi}{2 n}</tex>Дле нечетных:: <tex> E_{2n - 1} (f) \le E_{2n - 2} (f) \le 2 \omega (f, m = \frac{3 \pi}{2 n}) </tex>: <tex> \frac{3 \pi}{(2n - 1) + 1} = \frac{3 \pi}{2 n}</tex>

<tex> f \in C^1 </tex> — непрерывная, дифференциируемая

<tex> |f(x + t) - f(x)| = |f'(x + \theta t)| |t|, |f'(x + \theta t)| \le \| f' \|_C </tex>

<tex> \omega(f, h) \le \| f' \|_C h</tex>

<tex> \omega(f, \frac{3 \pi}{n + 1}) \le \| f' \|_C \frac{3 \pi}{n + 1}</tex>

<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \| f' \|_C \frac{6 \pi}{n + 1}</tex>

<tex> f \in C^{(p)} </tex>

<tex> E_n(f) = E_n(f + T), T \in H_n </tex>

Рассмотрим <tex> T_n(f')</tex>. Как и при почленном интегрировании рядов Фурье если из него вычесть его нулевой коэффициент Фурье и написать интеграл от <tex> 0 </tex> до <tex> x</tex>, мы получим тригонометрический полином.

<tex> \int\limits_0^x (T_n(f', t) - \frac{1}{2} a_0 (T_n(f'))) dt \in H_n </tex>

Подставим это в предыдущее равенство вместо <tex> T</tex>:

<tex> E_n(f) = E_n(f - \int\limits_0^x T_n(f', t) - \frac12 a_0(T_n(f')) dt) \le \frac{6 \pi}{n + 1} \| g' \| = \frac{6 \pi}{n + 1} \| f' - T_n(f') + \frac12 a_0(T_n(f'))) \| \le \frac{6 \pi}{n + 1} ( \| f' - T_n(f') \| + \frac12 | a_0(T_n (f'))|) </tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q T_n (f', x) dx </tex>

<tex> f' </tex> — <tex> 2 \pi</tex>-периодична <tex> \Rightarrow \int\limits_Q f' = f(\pi) - f(-\pi) = 0</tex>

<tex> \frac12 a_0(T_n(f')) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_Q (T_n(f', x) - f'(x))dx </tex>

<tex> |\frac12 a_0(T_n(f'))| \le \| T_n(f') - f'\| = E_n(f')</tex>

<tex> f \in C^1 \Rightarrow E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') </tex>

<tex> p = 1: E_n(f) \le \| f' \| \frac{6 \pi}{n + 1} </tex>

<tex> p = 2: E_n(f) \le \frac{12 \pi}{n + 1} E_n(f') \le 2 (\frac{6 \pi}{n+1})^2 \| f'' \|_C</tex>

<tex> f \in C^{(p)} \Rightarrow E_n(f) \le c_p \frac{1}{(n+1)^p} \| f^{(p)} \|_C, c_p — const</tex>.