355
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
С целью упрощения вычислений рассмотрим на примере функции, равной знаку числа <tex>f(x) = \operatorname{sign} x</tex>, <tex>2\pi</tex>-периодизованной. Эта функция удовлетворяет условию [[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке#Теорема Дини | теоремы Дини]] в каждой точке, значит, в каждой точке её можно разложить в ряд Фурье. <tex>f(x) </tex> {{---}} нечётная, значит, будет ряд только по синусам:
<tex>s_n(x) = \int\limits_Q f(t) D_n(t-x) dt = \int\limits_0^\pi + \int\limits_{-\pi}^0 = -1 \cdot \int\limits_{-\pi}^0 D_n(t-x)dt + 1 \cdot \int\limits_0^\pi D_n(t-x)dt</tex> <tex>=\int\limits_0^\pi D_n(t-x) dt - \int\limits_0^\pi D_n(t+x)dt</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^{\pi-x} D_n(t)dt - \int\limits_x^{\pi+x} D_n(t) dt</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x + \int\limits_x^{\pi-x} - \int\limits_x^{\pi+x}</tex> <tex>= \int\limits_{-x}^x - \left(\int\limits_x^{\pi+x} - \int\limits_x^{\pi-x}\right)</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x - \int\limits_{\pi-x}^{\pi+x}</tex> <tex>=\int\limits_{-x}^x (D_n(t) - D_n(\pi + t))dt</tex>
<tex>s_n(m_n) = \frac2\pi \int\limits_0^{x_{mn}} \frac{\sin m_nt}{\sin t} dt=</tex> (заменим переменную на <tex>m_n t</tex>) <tex>= \frac2\pi \int\limits_0^\pi \frac{\sin t}t \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} dt</tex>
<tex> \frac{t/m_n}{\sin t/m_n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 1</tex>, <tex>\frac{t}{\sin t}</tex> возрастает, значит, к этом этому интегралу применима [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега | теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла]]:
<tex>s_n(m_n) > s_{n+1}(m_{n+1})</tex>
