355
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>G(t) = \sum\limits_{k=n+1}^pc_k\cos kt + d_k\sin kt</tex>
<tex>\int\limits_Q T_n(x+t)D'_n(t) dt</tex> [в силу ортогональности] <tex>=\int\limits_Q T_n(x+t)(D'_n(t)+-G(t)) dt</tex>
Вспомним об ядре Фейера
Итого: <tex>\Phi_n(t) = \frac1{2\pi} + \frac1\pi \sum\limits_{j=1}^n\left(1-\frac{j}{n+1}\right)\cos jt</tex>
<tex>G(t) = \frac{1}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{n-1} k \sin (2n -k)</tex> Это тот полином, который можно подставить в интеграл.
<tex>T'_n(x) = \int\limits_Q T_n(x+t)(-\frac1\pi)\left( \sum\limits_{k=1}^n k\sin kt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin(2n-k)t \right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi(n\sin nt + \sum\limits_{k=1}^{n-1} k(\sin kt+\sin(2n-k)t)) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(x+t)\frac1\pi \left(n\sin t + 2\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\sin nt + \cos (n-k)t\right) dt</tex> <tex>= -\int\limits_Q T_n(k+t)\frac{2n}\pi\sin nt \left(\frac12 + \frac1n\sum\limits_{k=1}^{n-1} k\cos(n-k)t\right) dt</tex> <tex>=-\int\limits_Q T_n(x+t)\frac{2n}\pi \sin nt \left(\frac12 + \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{n-j}n \cos jt\right) dt</tex>
Итого: <tex>T'_n(x) = -2n\int\limits_QT_n(x+t)\sin nt \Phi_{n-1}(t)dt</tex>
<tex>\Phi_n</tex> {{---}} неотрицательное и нормированное.
