668
правок
Изменения
Нет описания правки
|statement=
Пусть <tex> P(r = k) = pq^{k - 1} </tex> для любого <tex> k \in \mathbb N </tex>. Тогда для любых неотрицательных целых n и k имеет место равенство: <tex> P(r > n + k | r > n) = P(r > k) </tex>
|proof=
По определению условной вероятности,
<tex> P(r > n + k | r > n) = \genfrac{}{}{}{0}{P(r > n + k, τ > n)}{P(τ > n} = \genfrac{}{}{}{0}{P(τ > n + k)}{P(τ > n)} </tex> (9)
Последнее равенство верно в силу того, что событие <tex>{r > n + k} </tex> влечёт событие <tex>{r > n}</tex>, поэтому их пересечением будет событие <tex>{τ > n + k}</tex>. Найдём для целого <tex>m \ge</tex> 0 вероятность <tex>P(τ > m)</tex : событие <tex>τ > m </tex> означает,
что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились «неудачами», то есть его вероятность равна <tex> q^{m}</tex>. Возвращаясь к (9), получим
<tex>P(τ > n + k | τ > n) = \genfrac{}{}{}{0}{P(τ > n + k)}{P(τ > n)}= \genfrac{}{}{}{0}{q^{n + k}{q^{n} = q^{k} = P(τ > k)</tex>.
}}
