38
правок
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= <b>Евклидово кольцо</b> - [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы ко…»
{{Определение
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцо]], в котором существует алгоритм евклида.
}}
{{Определение
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - это [[Делители нуля, области целостности|область целостности]] <tex>R</tex>, для которой определена евклидова норма <tex>\|\cdot \| :R \rightarrow \mathbb{N}\cup\{-\infty\}</tex>, причем <tex>\|a\|=-\infty \Leftrightarrow a=0</tex>, для <tex>\forall a,b\in R \exists</tex> представление <tex>a=b\cdot q + r, для которого \|r\|<\|d\|</tex>
}}
==Алгоритм Евклида==
Изначально даны <tex>a,b\in R</tex>, необходимо найти их НОД. Пусть <tex>a<b</tex>. Поделим <tex>b</tex> на <tex>a</tex> с остатком<br>
<tex>b=a\cdot u_1 + r_1 (0\le r_1<a)</tex>,<br>
<tex>a=r_1\cdot u_2 + r_2 (0\le r_2<r_1)</tex>,<br>
...........................<br>
<tex>r_{n-1}=r_n\cdot u_{n+1} + r_{n+1} (0\le r_{n+1}<r_n)</tex>,<br>
<tex>r_n=r_{n+1}\cdot u_{n+2}</tex>.<br>
Число <tex>r_{n+1}</tex> является НОД чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Алгоритм заканчивает свою работу, поскольку <tex>\forall a \in \mathbb{N} \cup \{-\infty\}</tex> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел.
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцо]], в котором существует алгоритм евклида.
}}
{{Определение
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - это [[Делители нуля, области целостности|область целостности]] <tex>R</tex>, для которой определена евклидова норма <tex>\|\cdot \| :R \rightarrow \mathbb{N}\cup\{-\infty\}</tex>, причем <tex>\|a\|=-\infty \Leftrightarrow a=0</tex>, для <tex>\forall a,b\in R \exists</tex> представление <tex>a=b\cdot q + r, для которого \|r\|<\|d\|</tex>
}}
==Алгоритм Евклида==
Изначально даны <tex>a,b\in R</tex>, необходимо найти их НОД. Пусть <tex>a<b</tex>. Поделим <tex>b</tex> на <tex>a</tex> с остатком<br>
<tex>b=a\cdot u_1 + r_1 (0\le r_1<a)</tex>,<br>
<tex>a=r_1\cdot u_2 + r_2 (0\le r_2<r_1)</tex>,<br>
...........................<br>
<tex>r_{n-1}=r_n\cdot u_{n+1} + r_{n+1} (0\le r_{n+1}<r_n)</tex>,<br>
<tex>r_n=r_{n+1}\cdot u_{n+2}</tex>.<br>
Число <tex>r_{n+1}</tex> является НОД чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Алгоритм заканчивает свою работу, поскольку <tex>\forall a \in \mathbb{N} \cup \{-\infty\}</tex> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел.
