668
правок
Изменения
Нет описания правки
|id=th1
|statement=
Для любого <tex>k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex>испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex>P(v_{n} = k </tex> ) = <tex>C^n_kk_n</tex> <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
|proof=
Событие {<tex>A = v_{n} </tex> = k} означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <tex>\binom{n}{kC^k_n}</tex> cпособов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <tex>\binom{n}{k}C^k_n</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
(Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.)
}}
Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.
<tex>P(v_{10}</tex> = 4) = <tex>\binom{10}{4C^4_10}\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {4} \cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 4} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
<tex>P(v_{10}</tex> = 5) = <tex>\binom{10}{5}C^5_10\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {5} \cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 5}</tex> <tex>~\approx ~ 0{.}246 </tex>
<tex>P(v_{10}</tex> = 6) = <tex>\binom{10}{6}C^6_10\cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {6} \cdot (\genfrac{}{}{}{0}{1}{2})^ {10 - 6} </tex> <tex>~\approx ~ 0{.}205 </tex>
Сложим вероятности несовместных событий:
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex>\binom{n}{n_{1}}C^n_1_n\cdot \binom{n C^n_2_n - n_1 - n_{1}}{n_{2}} n_2 \cdot \binom{n C^n_3_n - n_1 - n_{1} n_2- n_{2}}{n_{3}}n_3 ...\cdot \binom{n - C^n_{1m}._n - n_1 - n_2..-n_{m - 1}}{n_{m}} =
\frac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}
</tex>
