Изменения
Нет описания правки
|id=th1
|statement=
Для любого <tex>k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n </tex>испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex>P(v_{n} = k </tex> ) = <tex>C^k_n</tex> <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
|proof=
Два игрока по очереди подбрасывают правильную игральную кость. Выигрывает тот, кто первым выкинет шесть очков. Найти вероятность победы игрока, начинающего игру.
Шесть очков может впервые выпасть при первом, втором, и так далее. бросках кости. Первый игрок побеждает, если это случится при броске с нечётным номером, второй — с чётным. Пусть событие <tex> A_{k} </tex> состоит в том, что что шесть очков впервые выпадет в испытании с номером <tex>k</tex>. По лемме, <tex> P(A_{k}) = \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6} \cdot (\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})^{k - 1} </tex>
События <tex>A , B</tex>, означающие победу первого и второго игроков соответственно, представимы в виде объединения взимоисключающих событий:
<tex> A = A_{1} \cup A_{3} \cup A_{5} \cup . . . , B = B_{2}\cup B_{4} \cup B_{6} \cup . . .</tex>
Вероятности этих объединений равны суммам вероятностей слагаемых:
<tex> P(A) = \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6} + \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6} \cdot(\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})^{2} + \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6}\cdot (\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})^{4} ... = \genfracfrac{}{}{}{0}{6}{11}.</tex> Теперь аналогичным образом посчитаю вероятность для события В
<tex>
P(B) = \genfrac{}{}{}{0}{1}{6} \cdot(\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})+ \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6} \cdot(\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})^{3} + \genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6}\cdot (\genfracfrac{}{}{}{0}{5}{6})^{5} ... = \genfracfrac{}{}{}{0}{5}{11}.
</tex>
Рассмотрим один элементарный исход, благоприятствующий выпадению <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex> n_{2}</tex> двоек, и так далее.
Это результат <tex>n</tex> экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей <tex>p_{n_{1}}...p_{n_{m}}</tex>. Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел <tex>1, 2, . . . , m</tex> на <tex>n</tex> местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на <tex>n</tex> местах <tex>n_{1}</tex> единиц, <tex>n_{2}</tex> двоек,и так далее Это число равно
<tex>C^\binom{n}{n_1}_n\cdot C^{n_2}_\binom{n - n_1 - n_2} \cdot C^_{n_3n_2}_\\binom{n - n_1 - n_2- n_3}{n_3} ...\cdot C^{n_m}_\binom{n - n_1 - n_2.. - n_{m -1}}{n_m} =
\frac {n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! .. \cdot n_{m}!}
</tex>
Теперь мы можем вернуться к последнему примеру и выписать ответ: так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по <tex>\genfrac{}{}{}{0}{1}{6}</tex>, а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) <tex>\genfrac{}{}{}{0}{4}{6}</tex>, то вероятность получить десять троек, три единицы и ещё два других очка равна
<tex> P(10, 3, 2) = \frac {15!}{10! \cdot 3! \cdot 2!} \cdot ((\genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6})^(10)) \cdot ((\genfracfrac{}{}{}{0}{1}{6})^3)\cdot((\genfracfrac{}{}{}{0}{4}{6})^2)
</tex>
