19
правок
Изменения
м
Оформление дробей
{{Определение
|id=def1
|definition=Cлучайные величины <texmath> \xi</texmath> и <texmath>\eta</texmath> называются '''независимыми''', если <texmath>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</texmath> события <texmath>[ \xi \leqslant \alpha ]</texmath> и <texmath>[ \eta \leqslant \beta ]</texmath> независимы.<br> <texmath>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</texmath>
}}
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
{{Определение
|id=def2
|definition=Случайные величины <texmath>\xi_1,...,\xi_n</texmath> называются '''независимы в совокупности''', если события <texmath>\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n</texmath> независимы в совокупности<ref>[[Независимые события]]</ref>.
}}
== Примеры ==
Для примера рассмотрим <math>\alpha = 0, \beta = 0</math>, остальные рассматриваются аналогично:
<math dpi = "160">P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </math> <math dpi = "160" > \frac{5}{36}</math>
<math dpi = "160">P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1}{4} </math> <math> \cdot </math> <math dpi = "160" > \frac{5}{9} </math> <math> = </math> <math dpi = "160" > \frac{5}{36}</math>
==== Тетраэдр ====
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <texmath>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</texmath>. <texmath>\xi (i) = i~mod~2</texmath>, <texmath>\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor</texmath>.
Рассмотрим случай: <texmath>\alpha = 0</texmath>, <texmath>\beta = 1</texmath>. <texmath>P(\xi \leqslant 0) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1/}{2} </texmath>, <texmath>P(\eta \leqslant 1) = 1</texmath>, <texmath>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1/}{2} </texmath>.
Для этих значений <texmath>\alpha</texmath> и <texmath>\beta</texmath> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
Заметим, что если: <texmath>\xi (i) = i~mod~3</texmath>, <texmath>\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor</texmath>, то эти величины зависимы: положим <texmath>\alpha = 0, \beta = 0</texmath>. Тогда <texmath>P(\xi \leqslant 0) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1/}{2} </texmath>, <texmath>P(\eta \leqslant 0) = </math> <math dpi = "160" > \frac{3/}{4} </texmath>, <texmath>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1}{4} </4 math> <math> \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)</texmath>.
==== Честная игральная кость ====
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <texmath>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</texmath>, <texmath>\xi (i) = i~mod~2</texmath>, <texmath>\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}</texmath>.
Для того, чтобы показать, что величины <math>\xi, \eta</math> зависимы, надо найти такие <math>\alpha, \beta</math>, при которых
<math>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</math>
<math>При \alpha = 0, \beta = 1</math>:
<math dpi = "160">P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </math> <math dpi = "160" > \frac{2}{6} </math> <math> = </math> <math dpi = "160" > \frac{1}{3}</math>, <math dpi = "160">P(\xi \leqslant 0) = </math> <math dpi = "160" > \frac{1}{2}</math>, <math dpi = "160">P(\eta \leqslant 1) = </math> <math dpi = "160" > \frac{5}{6}</math>
<math>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</math>, откуда видно, что величины не являются независимыми.
